多维随机变量的分布.docVIP

第三章 多维随机变量及其分布 在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时抽查儿童的身高、体重, 这里, 和是定义在同一个样本空间{某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量. 又如, 考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标和纵坐标. 在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难, 故我们重点讨论二维随机变量. 第一节 多维随机变及其分布 分布图示 ★ 二维随机变量 ★ 二维随机变量的分布函数 ★ 例1 ★ 二维离散型随机变量及其概率分布 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 二维连续型随机变量及其概率密度 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 二维均匀分布 ★ 例10 ★ 二维正态分布 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-1 内容要点 一、二维随机变量 定义1 设随机试验的样本空间为, 为样本点，而 是定义在上的两个随机变量, 称为定义在上的二维随机变量或二维随机向量. 二、二维随机变量的分布函数 定义2 设是二维随机变量, 对任意实数, 二元函数 称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数. 联合分布函数的性质: （1） 且 对任意固定的 对任意固定的 (2) 关于和均为单调非减函数, 即 对任意固定的 当 对任意固定的 当 (3) 关于和均为右连续, 即 三、二维离散型随机变量及其概率分布 定义3 若二维随机变量只取有限个或可数个值, 则称为二维离散型随机变量. 结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量. 若二维离散型随机变量所有可能的取值为 则称 为二维离散型随机变量的概率分布(分布律), 或的联合概率分布(分布律). 与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定取值于任何区域上的概率，即 , 特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数: 四、二维连续型随机变量及其概率密度 定义 设为二维随机变量,为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数, 使对任意实数, 有 则称为二维连续型随机变量, 并称为的概率密度(密度函数), 或的联合概率密度(联合密度函数). 概率密度函数的性质: (3) 设是平面上的区域,点落入内的概率为 特别地, 边缘分布函数 上式表明: 是连续型随机变量, 且其密度函数为: 同理, 是连续型随机变量, 且其密度函数为: , 分别称和为关于和的边缘密度函数. (4) 若在点连续, 则有 进一步, 根据偏导数的定义, 可推得:当很小时, 有 即, 落在区间上的概率近似等于 五、二维均匀分布 设是平面上的有界区域,其面积为.若二维随机变量具有概率密度函数 则称在上服从均匀分布. 六、二维正态分布 若二维随机变量具有概率密度 其中均为常数,且,则称服从参数为的二维正态分布. 注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数，亦即对给定的，不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于和关于的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量的联合分布的. 例题选讲 二维随机变量的分布函数 例的分布函数为 (1) 试确定常数 (2) 求事件的概率. 解 (1) 由二维随机变量的分布函数的性质, 可得 由这三个等式中的第一个等式知 故由第二、三个等式知 于是得 故的分布函数为 (2) 由(1)式得 二维离散型随机变量及其概率分布 例2 (E01) 设随机变量在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在1~中等可能地取一整数值，试求的分布律. 解 由乘法公式容易求得的分布律. 易知的取值情况是: 取不大于的正整数, 且 于是的分布律为 X 1 2 3 4 Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4