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第十章 无穷级数 第一节 常数项技术的概念和性质 一、常数项技术的概念 定义 如果级数的部分和数列{sn}有极限，即。则称无穷级数收敛，这时极限s叫做这级数的和，并写成s=u1+u2+…+un+…；如果{sn}没有极限，则称无穷级数发散。 二、收敛的基本性质 性质1 如果级数收敛于s，则级数也收敛，且其和为ks。 级数的每一项工程一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变 性质2 如果级数、分别收敛于和s、σ，则级数也收敛，且其和为s±σ。 两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。 性质4 如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所称的级数 仍收敛，且其和不变。 性质5 如果级数收敛，则它的一般项un趋于零，即。 三、柯西审敛原理 略 第二节 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 定理1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}有界。 定理2 设和都是正项级数，且un≤vn(n=1，2，…)。若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数发散。 推论 设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数N，使当n≥N时有un≤kvn(k0)成立，则级数收敛；如果级数发散，且当n≥N时有un≥kvn(k0)成立，则级数发散。 定理3 设和都是正项级数， (1)如果，且级数收敛，则级数收敛； (2)如果或，且级数发散，则级数发散。 定理4 设为正项级数，如果，则当ρ1时级数收敛；ρ1(或)时级数发散；ρ=1时级数可能收敛也可能发散。 定理5 设为正项级数，如果，则当ρ1时级数收敛；ρ1(或)时级数发散；ρ=1时级数可能收敛也可能发散。 定理5 设为正项级数， (1)如果(或)，则级数发散； (2)如果p1，而，则级数收敛。 二、交错级数及其审敛法 定理7 如果交错级数满足条件：(1)un≥un+1(n=1，2，3…)；(2)。则级数收敛，且其和s≤u1，其余项rn的绝对值|rn|≤un+1。 定理8 如果级数绝对收敛，则级数必定收敛。 第三节 幂级数 一、函数项技术的概念 二、幂级数及其收敛性 定理1 如果级数当x=x0(x0≠0)时收敛，则适合不等式|x||xn|的一切x使这幂级数发散。 推论 如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在使得 当|x|R时，幂级数绝对收敛； 当|x|R时，幂级数发散； 当x=R与x=-R是，幂级数可能收敛也可能发散。 定理2 如果，其中an、an+1是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径R= 1/ρ，ρ≠0 +∞，ρ=0 0，ρ=+∞ 三、幂级数的运算 性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续 性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式 。逐项积分后所得的幂级数和原技术有相同的收敛半径。 性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R，R)内可导，且有逐项求导公式，逐项求导后所得到的幂级数和原技术有相同的收敛半径。