定积分的应用[].docVIP

第六章 定积分的应用（1、2） 陈建英 王江顺 主编 第一节 定积分在几何上的应用（1、2） 教学目的：掌握定积分应用的微元法，会求在直解坐标下的平面图形面积 教学重点、难点：用“微元法”确定所求量的“微元” 教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 一、引入新课 ????回顾 ????曲边梯形求面积的问题 ????曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成。 ????面积表示为定积分的步骤如下： ????(1)把区间分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为，则 ????(2)计算的近似值 . ????(3)求和，得A的近似值 ????(4)求极限，得A的精确值 ????提示　若用表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，则，并取于是 ??? 二、新授课 1．元素法的一般步骤： ????(1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间； ????(2)设想把区间分成个小区间，取其中任一小区间并记为，求出相应于这小区间的部分量的近似值。如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的元素且记作，即； ????(3)以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分，得，即为所求量的积分表达式。 ????这个方法通常叫做元素法。 ????应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。 2． 直角坐标系下的面积计算 (1) 平面图形由连续曲线成,并且在区间[a , b]上如图6-1或如图6-2所示. （图6--1 ） （ 图6—2） ?应用??曲边梯形的面积 ????(2)平面图形由连续曲线成，并且在区间 见 计算由两条抛物线和所围成的图形 面积。 (1) 作图. 利用Mathematica,输入 Plot 输出图形 ??解　两曲线的交点， ????选为积分变量，， ????面积元素 ????， ???? ????例2　计算由曲线和所围成的图形的面积。 解　两曲线的交点 ， ????选为积分变量， ???? ???? ????于是所求面积 ???? ???? ????说明：注意各积分区间上被积函数的形式。 ????问题：积分变量只能选吗？ 计算由曲线和直线所围成的图形的面积。 解　 两曲线的交点 ， 选为积分变量， 作图.利有Mathematica,输入 输出图形, 如图所示; ???? 注意 对于同一问题,有时可选取不同的积分变量进行计算,计算的难易程度往往不同,因此在实际计算时,应选取合适的积分变量,使计算简化. 例 4 解 (1) 求交点的横坐标. 作图. 作出曲线 与曲线 所围的平面图形，输出 求面积. 输出1.00751 0.0758192 三、本节小结： 1．?微元法的实质是什么？ （??微元法的实质仍是“和式”的极限。） 2．求在直角坐标系下平面图形的面积。(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算)。 四、课外作业： P116习题6—1 一、求下列各组平面图形的面积 1、与直线及。 ????2、与直线及 ?二、求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积 。 ????三、求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积 第六章 定积分的应用（3、4） 第一节 定积分在几何上的应用（3、4） 教学目的：会求在参数方程、极坐标系下的平面图形面积 教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法， 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程 一、引入新课 写出圆的方程在直角坐标系下的方程，参数方程和极坐标方程 二、新授课 ?如果曲边梯形的曲边为参数方程，曲边梯形的面积(其中和对应曲线起点与终点的参数值)，在[，](或[，])上具有连续导数，连续。 ????例4　求椭圆的面积。 解　椭圆的参数方程 ????由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积。 ???? 设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积。这里，在上连续，且。 ????面积元素 ????曲边扇形的面积 ????例5　求双纽线所围平面图形的面积。 ????解　由对称性知总面积=4倍第一象限