实变与泛函试题.docVIP

实变函数与泛函分析基础试题 考生班级 学　号 姓　名 1. 设是上的实值连续函数, 则对于任意常数, 是一开集, 而总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证为开集. (8分) 证明一 设,则,由在上连续,知,使得时,, 即 , 故为的内点. 由的任意性可知,是一开集. 证明二 可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知为开集. (2) 再证是一闭集. (7分) 证明一 设, 则是的一个聚点, 则中互异点列使得 . ………………………..2分 由知, 因为连续, 所以 , 即.……………………………………………………………………………………6分 由的任意性可知,是一闭集. …………………………………7分 证明二 对, ,……………………… 5分 知,为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,为开集, 同理也为开集, 所以闭集, 得证. 西北工业大学命题专用纸 2. 证明Egorov定理：设是上一列收敛于一个有限的函数的可测函数, 则对, 存在子集, 使在上一致收敛, 且 (15分) 证明 任选一列自然数,与此相应作的子集 则必在上一致收敛于. 事实上,对,选使则当时,对一切 都有 . ……………………… 6分 所以, , 若能适当的选取, 使, 则令即可. 利用引理, . 故对任给的, 对 , ,使得 , 取所以在上一致收敛.且……………………………………… 12分 ……………………………. 15分 结论得证. 教务处印制　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　共8页　　第2页 西北工业大学命题专用纸 3. 证明勒贝格控制收敛定理: 设 (1) 是可测集上的可测函数列; (2) 于,=1,2,…,在上可积分; (3) , 则在上可积分, 且 . (15分) 证明 证明一 由于,根据Rieze定理,存在子列 a.e.收敛于. 由于于,从而于,得于.因为可积,可得到在上是可积的,且每个在上是可积的. …………… ..2分 下证.我们分两步证明： (1) 先设.对任何,因为在上可积,由勒贝格积分的绝对连续性,知存在,使当且时有 . …………………………… ..4分 又因为,所以存在,使当时有 , 其中.所以当时, ,………….………………… ..6分 因此 ＝ = = ………………………….……….………………… ..9分 这就证明了当时,成立 . (2)设.因在上可积,由非负可测函数积分的定义 知对任何,存在 ,使得 , 所以 = ..……………… .11分 另一方面,在上的可测函数列满足： 于, （从）, 故在上利用(1)的结论（从(1)有,所以由,得）,知存在正整数,使当时, ,……………..……………… .13分 (注意: 上一步若直接由(1)得到亦正确) 因此 ……………..………………………………………… .15分 证毕. 证明二 由及黎斯定理 ,存在子列 a.e.收敛于. 因为 于, 所以 于, 因此 于. 由可积,得到每个和都是L可积的. ………………………………… .2分 因为在E上可积,即,所以,存在, 使得 , 因此 = .…………………6分 由绝对连续性,,使得,时,有 , 对此,由（在上,从而在上）,所以存在,使得当时, ,……………………10分 当时,记=,所以从,有 . 因为 , 所以当时 = ≤ ＝＋＋ () ≤＋2＋2 ＜ ＝.…………………………………………………………………………...................15分 这证明了. 4．证明康托尔(Cantor)集合的测度为零. (10分) 证明 证明一 Cantor集,………....................4分 所以 …………………................8分 …………………..............10分 证明二 去掉过程进行到第步时，剩下个长度为的闭区间这些区间的总长为 当时……………….....4分 故 ………………………….......