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实变函数习题集 第四章 可测函数 §4.1 可测函数的定义及其简单性质 判断设定义于可测集则是可测函数? 是可测函数是可测函数是可测函数为一不可测集时，令。 显然在可测不可测。 (2) 存在上的连续函数，与某个处处不连续的可测函数对等，，，则， (3) (P104.6) 任何集合上的连续函数一定是可测函数在[0,1]上不可能定义以下函数：在有理数连续，在无理数上不连续设在上可测，则 在上可测与在上可测等价是上的不可测集，，则是上的可测函数，但不是上的可测函数。 (6) 若，则任意都是上的可测函数 (7) (P104.7) 可测集上的单调函数一定是可测函数几乎处处连续）。 (8) 存在上的可测函数，与上的任一连续函数不对等。（　　　）√； (9) 函数在上是可测的当且仅当对于每个实数 ，集合可测要求：判断命题是否正确，对正确的命题予以简要证明，对不正确的命题举出反例。若在连续，是可测集上的实值可测函数，则是E上的可测函数,记有， 因连续，由P36.12题知是开集。而可测，由P104.10题知是可测集， 所以是可测函数。 (2) 存在可测集上的可测函数列，使得收敛于可测函数的点集是不可测 集。 解 错误。，。 (3) 在上连续，则在上可测。存在定义在可测点集上的不可测函数，上任一不可测子集，定义 ，。 3、单项选择 (1) 设是上的可测函数，则对任意实数，有(　　) D；(P35.2) A、是开集　　 B、是闭集　 　 C、是零测集　　D、是可测集 (2) 以下命题中，( ) 是正确的。C; (P104.11) A、可测，连续可测 B、可测，可测 可测 C、 存在上的不可测函数 D、 存在上的不可测函数 4、若函数在E上可测是上的连续函数则是上的可测函数函数在上可测使得 ，。由是上的连续函数是 上。由P104.8题知 是上的可测函数设 在上连续，是上的可测函数，证明在上可测，，，是直线上的开集，是其构成区间(可能是有限个，，），因此，， ，、。 6、证明：函数 是集E 上的可测函数的充要条件是：对于任有理数 ，集可测。如果可测，试问,集可测。则对任意实数，记是大于的一切有理数，则有，由可测得是可测的。从而是上的可测函数。 若对任意有理数，集可测。则是不一定是可测的。例如，， 是中的不可测集。.定义 . 则对任意有理数，是可测的，但是不可测的。因而是不可测的。. （法二）必要性是显然的。 充分性：对任一实数，取有理数列，使得，而，于是 ，即可测。 若可测，不一定可测。比如 因集不可测，故不可测。但集可测设是上的可测函数是可测集，试证明是上的可测函数。 证明 ，，则由题设知可测； ，由于，而在E 上可测； ，则可测。 从而，均有可测，故在上可测 8(p103.1)、设是上的可测函数，则是可测函数。，是上的可测函数，则和可测。而对，易证。所以可测，即为上的可测函数，，任取，则。从而，使，即。 从而； 反之也成立。 故可测，即是可测函数。是上的连续函数在的任何可测子集上是上的连续函数是的任意一个可测子集，对，有是闭集。这是因为，则有，使又由的连续性知：。其中。从而，则为闭集。由闭集的可测性知：在集上是中的可测子集上的单调函数，证明在上可测。 证明 (法一)参见课件。当，不妨设是单增函数，设M、m为在在上的最大值、最小值，则，，则有，即是可测集，即在上可测。 (法二) 因为单调函数的不连续点至多可列多个，则设的不连续点集为，则，且在上连续，从而在上可测。 §4.2 Egoroff定理 判断Egoroff 定理中这个条件是可以去掉的设为可测集E上的可测函数列，则为E上的可测函数定义于可测集，则是可测函数是可测函数。（ ）√； 证明 对，，是可测函数，从而是可测函数。 2、填空题______________，是 E 上的一串几乎处处取有限值于E，且 ，则______________。 解 对于任意正数，恒有可测子集，使而在上一致地收敛于。 3、叙述并证明叶果洛夫逆定理叶果洛夫逆定理叶果洛夫在上一致地收敛于，则，恒有。 令，则且，使。由测度的上连续性(内极限定理)得，从而于E。 4、针对函数列,和,对叶果诺夫定理给以解释和说明。 解 叶果诺夫定理：当定义域为有限测度集时,几乎处处收敛“基本上”是一致收敛(即:去掉一个小测度集,在留下的集合上一致收敛).如在上处处收敛于,但,在上一致收敛于.叶果诺夫定理中条件定义域为有限测度集不可缺少,如在上处处收敛于,不一致收敛于,并且去掉任意小测度集,在留下的集合上仍不一致收敛。 §4.3 可测函数的结构Lusin定理 判断设函数， 则在上的每一点都不连续所以对，鲁津定理的结论不成立上的有理点记为，则上的无理点记为，且， 为在上的连续函数，？？其