实变函数B卷(解答).docVIP

华中师范大学2002——2003学年第二学期 期（中、末）考试试卷（A、B卷） 课程名称 实变函数 课程编号 任课教师 题型 判断题 叙述题 简答题 解答题 总分 分值 15 15 10 60 100 得分 一、判断题（判断正确、错误，并改正。共5题，共5×3=15分） 1、无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。 ( × ) 改正：无限集中不存在基数最大的集合，但存在基数最小的集合。 2、存在闭集使其余集仍为闭集。 （ √ ） 3、若是可测集，是的可测子集，则 。 ( × ) 改正：若是可测集，是的测度有限的子集，则 。 4、若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：存在 实数，使是可测集。 （ × ） 改正：若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是： 对任意实数，是可测集。 5、若是可测集，是上的非负简单函数，则一定存在。 ( √ ) 二、叙述题（共5题，共5×3=15分） 1、伯恩斯坦定理。 答：设、是两个集合，若的基数不超过的基数，且的基数也不超过的基数，则与对等。 2、伯恩斯坦定理。 答：设、是两个集合，若的基数不超过的基数，且的基数也不超过的基数，则与 的基数相等。 3、可测集与开集的关系。 答：设为可测集，则对任意，存在开集，使且。 4、叶果洛夫定理的逆定理。 答：设{}为上几乎处处有限的可测函数列，也为上几乎处处有限的可测函数如果对任意，存在可测子集，使在上，一致收敛于，而则 a.e.于。 5、在可测集上几乎处处收敛于的定义。 答：设是可测集，、均为上的可测函数，如果中使不收敛于的点 所成的集为零测集，则称在上几乎处处收敛于，记为 a.e.于。 三、简答题（共1题，共1×10=10分） 1、按从简单到复杂的方式简述Lebesgue的定义。 答：1. 设为可测集，为上非负简单函数，即 （两两不交）且当 时 ，则称为在上的Lebesgue积分，记为 。 ————————————————————3分 2. 设为可测集，为上非负可测函数，则存在一列单调递增非负简单函数列 使，则称为在上的Lebesgue积分，记为。 —————————————————————7分 3. 设为可测集，为上可测函数，由于，如果与 至少有一个为有限数，则称－为在上的Lebesgue积分，记为。 —————————————————————10分 解答题（共6题，共6×10=60分） 1、设是上的单调函数，证明是上 的可测函数。 证：由题设知 在上几乎处处连续，——————————————6分 而上连续函数是可测函数 所以由可测函数的性质知 是上的可测函数。 ——————————————10分 2、设，证明是闭集的充要条件是：，其中{包含的闭集全体}。 证：充分性 由闭集的交集运算性知 是闭集。————————————4分 必要性 对任意，有，所以 ——————————7分 又，从而 所以 。 ————————————10分 3、若均为上的可测子集，且，则 。 证：因为 ————————————————4分 而 ， 所以 。———————————10分 4、利用Lebesgue控制收敛定理，求 。 证：因为 当时，，———————————————4分 所以 a.e.于 由Lebesgue控制收敛定理知 =。————————10分 5、设 ，其中是上的有理数集，求 。 解：因 ，所以 a.e.于 ————————————5