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　实变函数　试卷B 　　　　　　　　　　　　　 一、解答下列各题 (40分) 1、狄莫更公式意义与作用：通过余集运算，把集合并与交运算进行转换。填写公式推广： ( ) = CS Aα， ( ) = CS Aα 2、集合列的极限 定义 设A 1、A 2 … A n …是任一集合列，若 An = An ，称集列{An}收敛，{An}的极限记为 An .其中： 上极限集合表示： An ={x│ } 下极限集合表示： An = {x│ } 3、无限集的特征性质：一个无限集可以与它的一个真子集对等。 这一性质常作为无限集的定义，它对于有限集来说是不能成立的，这是无限集与有限集之间的深刻差异。 举出两例。 4、Cantor集，又称三分集，是一个构思非常巧妙的特殊点集。它具有许多重要特征，常常是集合论中构造特例的基础。列举它的三条性质。 5、R开集的构造：R中的开集是（ ） 6、列举集合的L外测度为零的三个例子 7、给出函数f (x )的正部f + (x ) 与负部 f - (x )的定义。 f + (x ) = f - (x ) = 8、几乎处处成立的命题的定义： 设π是一个与集E中的点x有关的命题，如果存在E的子集M，有mM=0，在E \ M 上π恒成立，称π是E上几乎处处成立的命题，记为π a.e 于E .举出两例。 二、解答下列各题 (20分) 1、作出实数集R全体与无理数全体集T之间一一对应. 解： 2、L-控制收敛定理: 若可测函数列{ f n(x)}满足条件： （1）f n(x)的依测度收敛： f n(x) f (x),a.e. x∈E， （2）存在E上的非负可测函数F（x）,使得 | f n(x) | ≤F（x）,　(n=1,2……) 则f n(x) (n=1,2……)及f (x)于E可积，并且 = 。 设m E +∞，在下列括号内填写证明过程中所应用的性质,并证明等式(*)成立。 证明 ：首先证明(x)、(x)于E的可积性。 因为n(x)依测度收敛于(x)， 存在子列{nk(x)}几乎处处收敛于(x)， （ ） 由定理的已知条件，有|nk(x)|≤F(x), 令k→∞,得 |(x)|≤F(x) 在E上几乎处处成立。 由F(x)的可积性，得(x)、(x)于E可积。 第二步，证明定理结论中的等式： 即 m E +∞。证明极限等式成立，即当证 (*) 由于|n(x)- (x)|≤|n(x)|+ |(x)| ≤2F（x） 对任意的ε0,，存在δ0,使当meδ(eE)时， 有 , （ ） δ确定后，取正数η，使η.mE ,将E分解为下列两个互不相交的集合的并： An(η)=E(|fn-f|≥η)， Bn(η)= E—An (η) 有m An (η)→0, (n→∞)， （ ） 因而存在n0, 当n n0 时，m An (η) δ, 从而 , （n n0） 证明等式(*)，有 |—|≤ 三、证明下列各题 (40分) 1、有理数集Q是可数集。 2、设A是一个无穷集合,则必有 A*A ,使 A*∽A,而 A\A*可数。 3、设A1、A2为Rq 中两个集合，A1A2，又A1是可测集且mA1+∞。若mA1=m*A2, 试证A2也是可测集。 4、设ER , f(x)是E上a.e有限的可测函数，证明：存在定义在R上的一列连续函数{gn(x)} ,使得 g