实变函数教案ch可测函数.docVIP

第四章　可　测　函　数 § 4.1. 可测函数及其性质 定义4.1.1．设, A )是可测空间，A是代数，A，函数 ． 若 ， 有 A，称f为E上的（A）可测函数． 如：常值函数是 E上的可测函数． 定理4.1.1．设, A )是可测空间，A，函数． 则以下四命题等价． (1) A；　　　　　　　　　 (2) A； (3) A； (4) A． 证：(1) (2) (3) 见书上． (3) (4)．A． (4) (1)．A． 定理4.1.2．设, A )是可测空间，函数． 那么： (1) 集族 A 是上的代数． (2) 若f在X上可测，则包含中的全体开集．因此，f在X上可测A． (3) 若f在X上可测，则包含中的Borel集全体B． (4) 若g在上Borel可测，f在X上可测，则在X上可测． 证：(1) 首先，由A， 故 ．　 若 ，则A，即； 若，则A， 即 ， 是代数． (2) 对于，由Th4.1.1，知． 而中开集均为至多可数个形如 区间的并集． 由(1)得(2)． (3) B是由生成的代数，而是包含的代数，(3)成立． (4) B； 由(3)，A， 据(2)，在X上可测． 推论1．设是拓扑空间，A为X上的代数，且A，若 连续，则f在X上A可测．　 (书错) 如：取 ，则一切连续函数均为R上的Lebesgue 可测函数；上的连续函数均为E上的Lebesgue 可测函数． 推论2．R上的严格单调函数均为R上的Lebesgue 可测函数；上的单调函数均为E上的Lebesgue 可测函数． 证：若↗，则 ； 若↘，则 ． 引理1．(1) 若f在A上可测，则f在E的任一可测子集上可测； (2) 若f在A上可测，则f 在 上可测． 引理2．设f和g在A上可测，则 A． 证：记有理数集 ，有 A． 定理4.1.3．设f和g在A上可测，记 ，则下列函数是E上的可测函数． (1) ；　　　　　　 　　(2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 证：(1) A知， 在E上可测．　若在E上可测． 若A； 若　利用引理1(2)，在E上可测． 若在E上可测． (2), (3), (4) 证略． (5) ，应用(4) 及Th4.1.2 (4) 即可得(5)． 定理4.1.4．设是A上的可测函数列，则 ，，， 均为E上的可测函数． 证：，由于 A； ， ， ． 可得以上四个函数均在E上可测． 推论1．在A上可测 正部 及负部 均在E上可测． 推论2．在A上收敛的可测函数列的极限函数 在E上可测． 简单函数：A， A 且两两不交，，，，称为E上的简单函数． 定理4.1.5．设是A上的可测函数， 则存在E上的简单函数列 满足 ， ↗． 证：先设．令 ， ， ． 易知，为E上非减的非负简单函数列．下证 ↗． 若 ，则 ，于是 ↗．　 若 时， ， 使 ． 此时 ， 于是 ， ． 从而 ↗． 若 是E上的一般可测函数，则．由已证结论，存在E上非减的非负简单函数列与， 使 ↗↗． 令 ， 则为简单函数， 且 ． 于是有 ↗， ． 推论1．若是E上的有界可测函数，则存在一致有界的简单函数列 在E上一致收敛于． 推论2．是E上的可测函数 可表示为E上的简单函数列的极限． §4.2. 可 测 函 数 列 几乎处处 a.e.： 设, A, 是测度空间，A为代数，．存在零测集，命题P或条件P在上成立，则称P在E上a.e. 成立． 如：．若 ，称在E上a.e.有限，记 “，a.e.于E”； ．若 ，记 “，a.e.于E”； ．若 ，记 “，a.e.于E”． 依测度收敛：设A，是E上的可测函数，，有 ，称在E上依测度收敛于，记． 定理4.2.1．设, A, 是测度空间，是A上的可测函数列，若 于E，则存在E上的可测函数，使 于E． 证：存在零测集，使 ，． 令 ， 则在E上可测，且 于E． 推论．若, A, 是完备的测度空间，则A上的可测函数列的a.e.收敛的极限函数必是E上的可测函数． 证：记 A，A．A． 则 A． 定理4.2.2．设, A, 是测度空间，是A上的可测函数， 且 ，， 则 于E． 证：由，可知， ． 故 ， 令 ， 得 ，． 而 ， 知 ． 引理．设 ，，为有限函数，则 ，有 ． 证：，使，即 ． 从而 ． 说明 ．故 ． 从而 (上限集为，极限存在)． 定理4.2.3．(Lebesgue 定理) 设, A, 是测度空间，A，．是E上的可测函数列，于E， a.e. 有限，则 于E． 证：记 ，A， ．在上取值有限， 且， 有 ．