实变函数试卷及答案.docVIP

邯郸学院2009-2010学年第学期期末考试“√”）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（） 题 号 一 二 三 四 五 总分 满 分 20 10 10 20 40 100 得 分 阅卷人 复核人 判断正误（每小题2分） 1、若一个点不是E的聚点, 则必然也不是E的内点. （ ） 2、若，a.e.于，在可测集E上可测，则也在上可测． （ ） 3、若在可测集上可测，则在的任意可测子集上也可测．（ ） 4、任意个开集的交也是开集. （　　） 5、可列集在无限集中具有最小的势． （ ） 6、若可测，可测，且 ，则． （ ） 7、设在可测集上可积分，若，则．（　　） 8、由于，故不存在使之间对应的映射． （　　） 9、收敛的函数列必依测度收敛． （　　） 10、连续函数一定是有界变差函数． （　　） 　　 二、填空题（每空2分） 1、设，，，则集列的上限集为________________． 2、设为Cantor集，则_____. 3、设为有理数集,则________________． 4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设，则有 ,. 满分 10 得分 三、单项选择题（每小题2分） 1、下列断言中( )是错误的． （A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集． 2、设是上绝对连续函数，则下面不成立的是（ ）． (A) 在上的一致连续函数； (B) 在上处处可导； （C）在上L可积； (D) 是有界变差函数． 3、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )． （A）若, 则； (B) 是可测函数； （C）,则可测． 4、若，则下列断言（ ）是正确的． (A) 在可积在可积； (B) ； (C) ； (D) ． 5、设是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）． (A) 在上有界； (B) 在上几乎处处存在导数； （C）在上L可积； (D) ． 满分 20 得分 四、计算题（每小题10分） 1、设，其中为Cantor集，计算． 2、求极限． 满分 40 得分 五、证明题（每小题10分） 1、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集． 2、设在上,而成立,,则有． 3、设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数．(鲁津定理的逆定理) 4、在有限闭区间上的单调有限函数是有界变差函数． 本试卷共6页第1页 本试卷共6页第2页 满分 20 得分 满分 10 得分 __________级 _________系 ___________专业 _____________班 姓名____________ 学号__________________ ——————————————密——————————————封——————————————线———————————— ____________________________________________________________________________________________________________