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第 1 页(共 3 页) 第 2 页(共 3 页) 第 3 页(共 3 页) 证：（1）设，记， 则 且在上单调递增，而 因为在上可积，由积分的绝对连续性知，当时， ，从而。 于是在上是连续函数。 （2）因在闭区间上连续，故由介值定理知存在使得 记，则 且。 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 5、设，证明若在上，则。 证： 先设，则由定义知，即 现任给，若，则，从而 若则取，此时 从而也有 故于。 由于，， 由Lebesgue有界收敛定理知 。 6、设函数是中的有界可测集上的Lebesgue可积函数，且。证明： （1）是上的连续函数，其中是以原点为中心以为半径的开球。 （2）存在可测集，使得且。 3、设都是可测集上的非负可测函数且，用表示集合的特征函数（示性函数）。证明函数是上的可测函数。 证：对任意实数，我们有 显然和是上的可测集。而 由于都是上的非负可测函数，故和可测，从而 也可测。于是都可测，故是上的可测函数。 4、设是中的可测集，是上的Lebesgue可积函数。证明： （1）若于，则存在上的非负简单函数列使得； （2）存在上的简单函数列使得。 证：（1）因为非负可测，故在上存在非负简单函数列，使得。而 ， 故由Lebesgue控制收敛定理知。 (2) 设分别是的正部和负部，则在上都非负可积，从而应用（1）的结论知，存在上的非负简单函数列和，使得 令, 则是上的简单函数，且由不等式 知。 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分） 1、设是集且，证明：必存在一列单调下降包含于的开集，使得。 证：因是 集，所以存在中的一列开集{}，使得。而，故，令=， 则显然{}是包含于单调下降的开集列且G=。 2、设是中的测度有限的可测集，若几乎处处有限的可测函数列在上几乎处处收敛于a.e.于，试用Egoroff定理证明存在一列可测集合使得在每个上一致收敛于，而。 证：由Egoroff定理知 可测集，使得在上一致收敛于，而。 于是，对任何正整数，取，则存在可测集，使得在每个上一致收敛于，而。因为，故 从而。 3、Lusin定理 答：设是可测集上几乎处处有限的可测函数，则，存在闭子集使在上连续，且。 4、Fubini定理 答：设在上可积，则 （1）对几乎所有的,作为 的函数在上可积； （2）在上可积； （3） 5、有界闭区间上绝对连续函数的定义 答：设定义于上，如果对于任意的0，使于上的任意一组分点，只要，便有， 则称为上的绝对连续函数.，或说在上绝对连续。 三、计算题（共1题，共1×10 = 10分） 设为全体有理