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中　原　工　学　院 2006～2007　学年　第一学期 　　　03级信科专业　实变函数　课程期末试卷 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 一、解释下列概念（每题5分） 1、可测集（并举例） 2、构成区间（并举例） 3、Lebesgue控制收敛定理 4、列导数 5、有界变差函数 6、度量空间 二、（6分）设，试写出在内的，，. 三、（10分）若，则可测。 四、（10分）设函数列在有界集上“基本上”一致收敛于，证明几乎处处收敛于. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　本试卷共2页，此页为　B　卷第　1　页　　　　　　　　　　　　（注：参加重修考试者请在重修标识框内打钩） 五、（10分）在上定义：，则的两个累次积分存在且相等，但在上不可积分. 六、（16分）设，为几乎处处有限的可测函数列，证明： 的充要条件是. 　　 七、（10分）试从, ,证明： . 八、（8分）结合实例说明学习实变函数的必要性. 本试卷共　2页，此页为　B　卷第　2页　 中　原　工　学　院 2006～2007　学年　第一学期 03级信科专业实变函数课程期末试卷标准答案（即评分标准） 一、解释下列概念（每题5分） 1、设E为中的点集，如果对任一点集T都有 则称E是L可测集。如全体有理数所组成的集合Q是可测的。 2、设G是直线上的开集，如果开区间，而且端点不属于G，则称为G的构成区间。如开集的构成区间是及. 3、设（1）是可测集E上的可测函数列； （2）a.e.于E，，且在E上可积分； （3），则在E上可积分且 4、设为上的有限函数，，如果存在数列使极限存在（可为），则称为在点处的一个列导数. 5、设是上一列几乎处处有限的可测函数，若有上几乎处处有限的可测函数满足对有，则称函数列依测度收敛于. 6、设为上的有限函数，如果对于的一切分划T，使成一有界数集，则称为上的有界变差函数. 二、 ………………6分 三、证明：对任意集合，，于是 ………………4分 又，所以，，，故. 于是. 因而可测. …………….10分 四、证明：因在E上“基本上”一致收敛于，所以，对任意，存在可测集，使，而在上一致收敛于，设是E中不收敛的点的全体，则对任意，，所以，令，得，故在E上几乎处处收敛于. ………………..10分 五、当中一个固定时，是另一个变量的连续奇函数，所以积分 与都存在且积分值都为零. ………………5分 但在D上不可积，否则也必在上可积， 本试卷答案共　2　页，此页为第　1　页　 于是二次积分应存在，但这是不对的，因为 在上不可积，因此在D上不可积。 ………………10分 六、证明：充分性：当时， ， 即，，，由勒贝格控制收敛定理 ……………..8分 必要性：若，则。又函数，当时，严格单调增加，因此 ，即. ……………..16分 七、证明：在上，于是 而，故 ………….10分 八、可结合Riemann积分与Lebesgue积分的不同点及Riemann积分的局限性举例来说明. 本试卷答案共　2　页，此页为第　2　页　 重修标识 B卷 班级　　　　　　　　　　姓名　　　　　　　　　　学号　　　　　　　　　　　　 ………………………………………装……………………………订……………………………线……………………………………… B卷 班级　　　　　　　　　　姓名　　　　　　　　　　学号　　　　　　　　　　　　 ………………………………………装……………………………订……………………………线………………………………………