实变函数重点题集.docVIP

3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 二. 填空题(3分×5=15分) 1、2、设是上有理点全体，则=,=,=. 3、设是中点集，如果对任一点集都有，则称是可测的 4、可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使成一有界数集,则称为 上的有界变差函数。 1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。错误 2、若，则一定是可数集.错误例如：设是集，则，但c ， 故其为不可数集 3、若是可测函数，则必是可测函数。错误 二、2. 下列说法不正确的是(C ) (A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点 (B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点 (C) 存在中点列，使，则是的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言(B )是正确的。 （A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( C )是错误的。 （A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 1、设，则_________。 2、设为Cantor集，则 ，_____，=________。 3、设是一列可测集，则 4、鲁津定理：______________________________________________________5、设为上的有限函数，如果_________则称为上的绝对连续函数。 答案： 2，c ；0 ； 3， 4，设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且。 5，对任意，使对中互不相交的任意有限个开区间只要，就有 1、由于，故不存在使之间对应的映射。错误 2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。正确 3、收敛的函数列必依测度收敛。错误 4、连续函数一定是有界变差函数。错误 2.(6分) 设使，则E是可测集。 证明：对任何正整数，由条件存在开集使 令，则是可测集，又因对一切正整数成立，因而，即是一零测度集，所以也可测. 由知，可测。 4.（8分）设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于，证明：收敛于。 证明：因为在上“基本上”一致收敛于，所以对于任意的，存在可测集，在上一致收敛于，且 令，则在上处处收敛到，，k=1,2 所以… 1、设集合，则 2、设为Cantor集，则 ，0，=。 3、设是中点集，如果对任一点集都有，则称是可测的 4、叶果洛夫定理：设是上一列收敛于一个有限的函数 的可测函数，则对任意存在子集，使在上一致收敛且。 5、设在上可测，则在上可积的充要条件是||在上可积. 1、任意多个开集之交集仍为开集。不成立反例：设Gn=( ),n=1,2,(, 每个Gn为开集 但 不是开集. 2、若，则一定是可数集。不成立；设是集，则， 但c ， 故其为不可数集。 3、收敛的函数列必依测度收敛。不成立 4、连续函数一定是有界变差函数。不成立 1、（6分）试证 证明：记中有理数全体,令 显然所以 2、设是上的实值连续函数则对任意常数 c， 是一开集. 证明: 因f（x）连续，故. 即.所以是E的内点.由的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集. 1、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。 证明： ;;;; 3、（6分）设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且，则也是上的可积函数。 证明：， 是可测集的非负可积函数 是上的可积函数. 同理，也是上的可积函数.是上的可积函数。 1．设P为Cantor集，则 （C） （A） (0 (B) (C) (D) 5.设为上的有界变差函数,则下面不成立的是( D ) (A)在上可积 (B)在上可积 (C)在上可积 (D)在上绝对连续 2、设,若则是闭集若，则是开集；若则是完备集. 5、设为上的有限函数，如果对于的一切划分，使成一有界数集，则称为上的有界变差函数。 1、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集；成立 2、若，则；不成立；为中的全体有理点集，则有，而 3、若是可测函数，则必是可测函数；不成立. 设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的… 4．设在可测集上可积分，若，则;不成立. 见下页 （第3页，共4页）