实数集的完备性的基本定理闭区间上连续函数性质的证明.docVIP

第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 (一) 教学目的： 理解区间套定理,聚点定理,致密性定理,有限覆盖定理的条件和结论.理解这些定理的含意及关系,了解各定理的证明思路． (二) 教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理． (三) 基本要求： (1) 掌握和运用区间套定理、致密性定理． (2)掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用． (三) 教学建议： 本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和 致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理． (2) 本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理． —————————————————————————————— 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ） 对, 有 , 即 , 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ） . 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增,递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 区间套定理 Th7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对有. 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二 聚点定理与有限覆盖定理 定义 设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点. 数集 =有唯一聚点 , 但 ; 开区间 的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间 . Th 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 三 实数完备性基本订立的等价性 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 . 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ). 用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛 . 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有. 推论1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有. 推论2 若是区间套确定的公共点, 则有 ↗, ↘, . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: Th 4 数列收敛 是Cauchy列. 引理 Cauchy列是有界列. ( 证 ) Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观. 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ： Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间 , 取 , 使不是的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗. 下证.用反证法验证的上界性和最小性. “Ⅱ” 的证明: 用“区间套定理”证明“致密性定理”: Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证 （ 突出子列抽取技巧 ） Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 2．用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ： Th 4 数列收敛 是Cauchy列. 证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界 有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限. “Ⅲ” 的证明: 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”: 用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”: §2 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 ) (一) 教学目的：证明闭区间上的连续函数性质． (二) 教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续