实验极限与连续(基础实验).docVIP

实验一 一元函数微分学 实验2 极限与连续（基础实验） 实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用 Mathematica画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质. 基本命令 1.画散点图的命令ListPlot: ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},选项] 或者 ListPlot[{y1,y2,…yn},选项] 前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列的散点图;后一形式的命令, 默认自变量依次取正整数作出点列为的散点图. 命令ListPlot的选项主要有两个: (1) PlotJoined-True, 要求用折线将散点连接起来; (2) PlotStyle-PointSize[0.02], 表示散点的大小. 2.产生集合或者数表的命令Table: 命令Table产生一个数表或者一个集合. 例如, 输入 Table[j^2,{j,1,6}] 则产生前6个正整数的平方组成的数表 {1,4,9,16,25,36}. 3.连加求和的命令Sum: 命令Sum大致相当于求和的数学符号∑. 例如, 输入 Sum[1/i,{i,100}]//N 执行后得到的近似值. 与Sum类似的还有连乘求积的命令Product. 4. 求函数多次自复合的命令Nest: 例如, 输入 Nest[Sin,x,3] 则输出将正弦函数自己复合3次的函数 Sin[Sin[Sin[x]]] 5.求极限的命令Limit: 其基本格式为 Limit[f[x],x-a] 其中f(x)是数列或者函数的表达式, x-a是自变量的变化趋势. 如果自变量趋向于无穷, 用 x-Infinity. 对于单侧极限, 通过命令Limit的选项Direction表示自变量的变化方向. 求右极限, 时, 用Limit[f[x],x-a,Direction--1]; 求左极限, 时, 用Limit[f[x],x-a,Direction-+1]; 求时的极限, 用Limit[f[x],x-Infinity,Direction-+1]; 求时的极限, 用Limit[f[x],x-Infinity,Direction--1]。 注:右极限用减号, 表示自变量减少并趋于a,同理,左极限用加号, 表示自变量增加并趋于a . 实验举例 作散点图 例2.1 (教材 例2.1) 分别画出坐标为的散点图, 并画出折线图. 分别输入命令 t1=Table[i^2,{i,10}]; g1=ListPlot[t1,PlotStyle-PointSize[0.02]]; g2=ListPlot[t1,PlotJoined-True];Show[g1,g2]; t2=Table[{i^2,4i^2+i^3},{i,10}]; g1=ListPlot[t2,PlotStyle-PointSize[0.02]]; g2=ListPlot[t2,PlotJoined-True];Show[g1,g2]; 则分别输出所求图形. 例2.2 画出前25个素数的散点图. 输入命令 Table[Prime[n],{n,25}]; ListPlot[Table[Prime[n],{n,25}],PlotStyle-PointSize[0.015]]; 则分别输出所求图形. 数列极限的概念 例2.3 观察数列的前100项变化趋势. 输入命令 t=N[Table[n^(1/n),{n,1,100}]]; ListPlot[t,PlotStyle-PointSize[0.015]]; 则分别输出所求图形. 从图中可看出, 这个数列似乎收敛于1. 下面我们以数值的方式来说明这一变化趋势. 输入以下语句, 并观察其数值结果. m=2;xn=0; For[i=1,i=1000,i+=50,If[Abs[xn-1]10^(-m),xn=N[n^(1/n),20]]]; Print[i, ,xn]; 设该数列收敛于不妨取下面考察与A的接近程度. 输入以下Mathematica语句. u = 10^9(-2); A = 1 + u; m = 5; n = 3; an = Sqrt[3];While[Abs[A-an] = 10^(-m), n++; an = N[n^(1/n)]];Print[ n=, n, an=, an, |A-an|=, Abs[A - an]]; 结果表明: 当时, 与的距离小于 例2.4 观察Fibonacci数列的变化趋势. Fibonacci数列具有递推关系令. 输入命令 fn1=1;fn2=1;r