实验：定积分的近似计算.docVIP

实验二：定积分的近似计算 实验目标： 熟悉MATLAB的程序设计方法； 熟悉MATLAB下命令文件和函数文件的建立和使用； 学习定积分的三种近似计算方法：矩形法、梯形法、辛普生法； 理解数值计算的误差分析。 问题背景： 求定积分的近似值的数值方法用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来， 因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。 在几何意义上，这是用一系列小块区域的面积近似小曲边梯形的面积。当然，只有当积分区间被分割的很细时，计算结果才具有一定的精确度。 矩形法： 设积分区间被等分为若干份，第份是由表示，则该小块区域面积为： 或或 梯形法： 设积分区间被等分为若干份，第份是由表示，取和的加权平均值作为平均高度，则该小块区域面积为： 辛普生法： 设积分区间被等分为若干份，第份是由表示，中点为，取函数在，，这是三点的函数值的加权平均值作为平均高度的近似值，则该小块区域面积为： 实验内容： 试推导定积分的三种近似计算方法的迭代公式（矩形法、梯形法、辛普生法）。 计算的理论值。 分别用矩形法、梯形法和辛普生法计算，取，并用计算相对误差，比较三种方法的精确程度。 （选做）结合数分教材中的定积分部分做实验，试从理论上总结：针对什么类型的函数（具有某种单调性或凹凸特性）用某种近似计算得到的结果更接近实际值。