对积分中值定理的点思考.docVIP

对于积分中值定理的一点思考 摘要 积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点必可在开区间内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用. 关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限 一 引言 推广的积分第一中值定理： 若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点使得 （1） 推广的积分中值定理可改进如下： 定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在上至少存在一点使得。 对其证明如下： 因为在上连续，故在上存在最大值和最小值，不妨分别设为M和m,即，则必存在，使，，又因为 在上不变号，不妨设,则， 且有，又和都在可积，则在也可积，从而有 （2） 当 时，有以及，由（2）得 ，因此对，有 。 当时，由（2）得 若，则 由于在上连续，故由介值定理知，存在位于和之间，使 ，即 再考虑到，则命题成立。 若 （3） 当时，取，则，命题成立；当或时，可以证明存在，使。事实上，假设，都有，取充分小的，使，令为在上的最大值，则，所以 故，与（3）式矛盾。这说明必存在，使，从而 同理可证，当时，必有，使 所以定理得证。 推论 1：若在区间上连续，则至少存在一点使 定理2：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)在[a, b]上可积且不变号，则在上至少存在一点使得。 证明：不妨假定g(x)在[a,b]上连续，故存在, 若，则可在内任取一点使 。 若，则， 即有。 若上式没有一个等号成立，则有 （1） 设分别在和取得最小值与最大值，即，，不妨设，则，由（1）可知，介于之间。 由连续函数的介值性定理可知，存在，使， 即。显然，故结论成立。 若（1）中至少有一个等号成立，不妨设右边等号成立，则有。 由于在上可积，故它在上的Darboux下和 当时趋于，即。前面已设 ，故存在分割T，只要，就有。 由于，故。而在上，又知 ， 故 因此，其中在上非负且连续， 故必有，而在上 。因此对内任意一点，都有，从而 （ab）。 积分中值定理及其推广的应用： 积分中值定理的重要作用是证明微积分基本定理，从而为建立定积分与不定积分之间的联系以及快捷地计算定积分奠定了基础。由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理。 1.具有某些性质的点的存在问题 我们仔细观察被积函数所具有的性质，注意利用微分中值定理、积分中值定理等从而达到有关问题的证明。 例1 设函数在上连续，且， 试证：在内至少存在两个不同的点，使 证明： 若，结论显然成立。 假使不恒等于0 由推广的积分中值定理的改进定理的推论可知，存在，使 即 若在内只有一个实根，由可知，在与内异号，不妨设在内，在内，而在为单调下降，所以 与，矛盾，于是除外，在内至少还有一个实根，故至少存在两个相异的实根，使 2.证明积分不等式 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式，当积分区间相同时，先合并统一积分区间上的不同积分，根据被积函数所满足的条件，灵活运用积分中值定理，以达到证明不等式成立的目的。 例1 假设为上的连续、非负、严格单调减函数，证明 证明：由定理1可以得到 由以上两个不等式可以得到 两边乘以得 因为所以，又由于在上的连续，非负 所以 所以 例3 设在上连续，且单调不减，试证：对，有 证明：根据积分中值定理有 由于在上单调不减，所以 又因为，则： 即 3．与收敛有关的问题 例1 设函数在为连续的，，有收敛。 证明收敛且其值， 证明：因为，收敛，所以有 由积分中值定理，存在 ，使 ，又因为在连续，从而有 。 4求含有定积分的极限 例1 求证： 证明：令 ，，显然在[0，1]满足是推广的积分第一中值定理条件。于是 ， 当 时， 故 例2求 (p0) 分析与证明：此被积函数的原函数不能用初等函数表示。令，， 显然在上满足推广的积分第一中值定理的条件，于是，使 当时，，