导数在函数研究中的应用.docVIP

1.3.1 导数在函数研究中的应用—函数的单调性 目标：应用导数判别函数的单调性 一.函数的单调性定义的回顾 1.增函数的定义 设函数在区间上有定义，如果对于任意的，当时，都有，则称函数在区间上为增函数，相应的区间则称为函数的递增区间. 直观上，函数在区间上为增函数，就是在区间上函数值随着的增大而增大，函数的图象（从左到右）不断地上升. 2.减函数的定义 设函数在区间上有定义，如果对于任意的，当时，都有，则称函数在区间上为减函数，相应的区间则称为函数的递减区间. 直观上，函数在区间上为减函数，就是在区间上函数值随着的增大而减小，函数的图象（从左到右）不断地下降. 3.函数的单调性和单调区间 如果函数在区间I上为增函数或减函数，那么就说函数在区间I具有（严格的）单调性，函数的递增区间和函数的递减区间统称为函数的单调区间. 注：确定函数的单调区间时，遵循最大化原则，单调区间的端点能闭则闭（连续的函数单调区间的端点都能取闭）. 4.函数单调性的讨论或证明（三步走——老办法以后一般不用） 函数单调性的讨论或证明必须按定义的要求进行. 具体步骤如下： ①.设I，且； ②.计算，并讨论其符号， 以确定或； ③.根据①②作出结论. 5.复合函数的单调性（很多场合仍不失为一个很实用的方法） 给定函数，及函数，经复合后得到关于的复合函数，设当时，内函数单调，且相应的值域区间为E（E={|，}），如果外函数在时也是单调的，那么复合函数作为的函数在时也是单调的. 复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. 6.单调函数的有关结论. ①.增函数与增函数的和为增函数，减函数与减函数的和为减函数.常数与增函数的和为增函数，常数与减函数的和为减函数； ②.非零常数与单调函数的积仍为单调函数，且若这个常数为正，则单调性不变；若这个常数为负，则单调性改变； ③.奇函数在关于原点对称的区域上有相同的单调性； ④.偶函数在关于原点对称的区域上有相反的单调性. 二.应用导数判断函数的单调性 应用导数对函数的单调性加以判断，而且在很多场合下更为方便. 考察下面的例子： 函数的图象如下 图所示，考虑到曲线的切线的斜率 就是函数的导数，从图象上我们可以看 到：在区间内，切线的斜率为正， 即，这时为增函数；在区间 内，切线的斜率为负，即， 这时为减函数. 一般地，我们有如下的结论： 如果函数在开区间内可导，且，则函数在开区间上为增函数； 如果函数在开区间内可导，且，则函数在开区间上为减函数 如果在开区间内恒有，则为常数. 以上结论可以进一步地推广为： 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则函数在闭区间上为增函数； 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则函数在闭区间上为减函数； 如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且则函数在闭区间上为常数. 例1.如图，以等速（单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试找出各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象. 一般地，如果函数在某一范围内导数 的绝对值较大，那么函数在这个范围内变 化的快，这时函数的图象（向上或向下） 就比较“陡峭”；反之，就比较“平缓”； 如图，函数在区间内 的图象就比较“陡峭”，而在区间 内就比较“平缓”. 例2.函数的图象如图所示， 试画出导函数图象的大致形状. 例3.确定函数增减性. 应用导数确定函数的单调性具体步骤如下： ①.一确定函数的定义域； ②.求出函数的导数； ③.由（或）解出相应的的范围，即得函数的单调递增（或递减区间）. 例4.确定函数的单调区间，画出函数图象的大致形状. 例5.确定函数的单调区间. 例6.确定函数的单调区间. 例7.求证：方程只有一个根. 例8.已知函数. ①.确定函数的单调区间； ②.确定方程根的个数. 例9.确定函数的单调区间，画出函数图象的大致形状. 注：如果函数在区间上满足以下条件： ①.在区间上连续，在区间内可导； ②.在区间内，（可以有有限个点的导数为零） 则函数在区间上单调递增（减）. 例10.求证：当时，. 三.课外练习：《优化设计》. 四.补充练习 1.函数是定义在R上的可导函数，则为R上的单调增函数是的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件