导数的则运算和单调区间的求法.docVIP

导数的四则运算和单调区间的求法（辅导二） 导数的运算： 几个特殊函数的导函数公式： 四则运算公式： 复合函数求导公式 函数单调性的判断： 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f’(x)0（或f’(x)0） 仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是，x恒成立，且f’(x)在（a,b） 的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f’(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f’(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数） 求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然 后检验参数的取值能否使f’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f’(x)不恒为0，则由，x恒成立解出的参数的取值范围确定。 典例选讲： 1、 求下列各函数的导数（其中a,b,c,n为常数） 解： 解： （13） 解： (14) 解： (15) 解： (16) 解：， (17) 解： (18) 解： (19) 解： (20) 解： 2、求函数的单调区间 （1）求函数y=x2(1－x)3的单调区间. 思路分析：这是一个不含参数的高次多项式函数，按照利用导数求函数的单调区间的步骤进行。 解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1) =x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x) 令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜. ∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，) 令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.∵为拐点， ∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞) 其函数的大致图像如下图： （2）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a--1，求f(x)的单调区间。 （3）设函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ) 讨论f(x)的极值. 练习：1）设函数． 2）设函数（），其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值； （Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立． .（Ｉ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围. （5）已知函数 （Ⅰ）当时，讨论的单调性：（Ⅱ）设.当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围。 （6）设，求函数的单调区间. 解：. 当时 . （i）当时，对所有，有. 即，此时在内单调递增. （ii）当时，对，有， 即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此， 函数在（0，+）内单调递增 （iii）当时，令，即. 解得. 因此，函数在区间内单调递增，在区间 内也单调递增. 令，解得. 因此，函数在区间内单调递减. （7）已知函数，讨论的单调性. 练习：设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性． 6