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将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在个
习题11(8
1( 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式)(
(1)(
解 因为f(x)(1(x2为偶函数( 所以bn(0(n(1( 2( ( ( ()( 而
(
(n(1( 2( ( ( ()(
由于f(x)在(((( (()内连续( 所以
( x((((( (()(
(2)(
解 (
(n(1( 2( ( ( ()(
(n(1( 2( ( ( ()(
而在(((( (()上f(x)的间断点为x(2k( ( k(0( (1( (2( ( ( ((
故
(x(2k( ( k(0( (1( (2( ( ( ()(
(3)(
解 (
(n(1( 2( ( ( ( )(
(n(1( 2( ( ( ( )(
而在(((( (()上( f(x)的间断点为
x(3(2k(1)( k(0( (1( (2( ( ( ((
故 (
(x(3(2k(1)( k(0( (1( (2( ( ( ()(
2( 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数(
(1)(
解 正弦级数(
对f(x)进行奇延拓( 则函数的傅氏系数为
a0(0(n(0( 1( 2( ( ( ()(
(n(1( 2( ( ( ( )
故 ( x([0( l](
余弦级数(
对f(x)进行偶延拓( 则函数的傅氏系数为
(
(n(1( 2( ( ( ( )
bn(0(n(1( 2( ( ( ( )(
故 ( x([0( l](
(2)f(x)(x2(0(x(2)(
解 正弦级数(
对f(x)进行奇延拓( 则函数的傅氏系数为
a0(0(n(0( 1( 2( ( ( ()(
(
故
( x([0( 2)(
余弦级数(
对f(x)进行偶延拓( 则函数的傅氏系数为
(n(1( 2( ( ( ()(
bn(0(n(1( 2( ( ( ()(
故
( x([0( 2](
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