届景润杯讲函数和函数的连续性答案.docVIP

函数的极限与连续性 例1 已知当时，，对于其它满足，试求常数，使在连续。 解：当时，则，于是， 所以，因， ，所以由 ，即得. 例3、设在上连续，且有反函数存在，证明在上严格单调. 证：假设在上非严格单调，则存在，使得或 。 （1）若，取，由于在上连续，由介值定理存在使得,又在上连续，由介值定理存在使得,此即，但，这与有反函数矛盾。 （2）若，取，由于在上连续，由介值定理存在使得,又在上连续，由介值定理存在使得,此即，但，这又与有反函数矛盾。 例4、设定义在上且只有第一类间断点，证明在上有界. 证明：反证法.假设在上无界，即对任意的M，存在，使.由M的任意性，取M=n，相应地存在，使得，此时即有.又因为，存在收敛的子列且，若是连续点，则，矛盾，若是的第一类间断点，则其值都是一个有限数,存在子列使或,但，因而，或此也构成矛盾！故在上有界. 例5、设为上的增函数，其值域为，证明在上连续. 证明：反证法.假设在处间断，由于在上单调增，故只能是第一类间断点，则及中至少有一个大于零，不妨设，由的单调性知，无法取到和之间的数值，这与题设的值域为矛盾，从而在上连续. 例6、设在上连续且无上界，对在上无最小值，证明在在上严格递增。 证明：由在上连续且无上界，知只能在的左邻域内无上界，（否则与连续矛盾）.假设在上不是严格递增，即,且,但有，由于只能在的左邻域内无上界，故存在，使得，此时有，由于在上连续，故有最小值存在，其中，即在上取到了最小值，与题设条件矛盾，所以在上严格递增。 例7、证明非常值的连续周期函数必有最小正周期. 证：设，令,即为集合的下确界，显然.由下确界的定义，必存在单调下降的，使得.又由的连续性，首先对，有，即为的周期，下证，即。 假如，则，对，存在正整数和，使，， 因而，所以 故，这与是非常值函数矛盾，所以，故，即 是周期连续函数最小正周期. 例8、设在内每一点的左右极限都存在，且，都有，证明在上连续. 证明：任取，则对有 ， 令，，而， 所以，即 （1） 类似地，令令，得，即 （2） 另一方面在中，令，且令，得 ，而 因此 ，即 而由（1）和（2）可知， 所以，即在连续，由的任意性知，在上连续. 函数的连续性及其性质 例1 设是上的非负连续函数，且。求证：对任意的实数，必存在，使得，且 解：构造辅助函数，显然在上连续，且 ， 因此，再由连续函数的零点定理得，存在， 使得. 例2 设是上的连续函数，存在，且的最小值，求证：至少在两个点处取到的最小值。 分析：若能证明存在，使得，则有. 为证成立，就要利用介值定理，寻找，使 同时寻找，使. 解：(i)由，则必存在，满足，于是有， 由的连续介值定理，存在，使得，从而 (ii)由,必存在，满足，于是有，由的连续函数的介值定理得，存在，使得，从而，因而在处取到了的最小值。 例3 设是上的连续函数，且有唯一的取到最大值的点(最大值点)，又设, 使得，求证: . 证：采用反证法。假设不存在，因为有界，所以必存在两个子列，有，且， 则，，再由f的连续性知，, ，此即 都是的最大值点，与题设条件矛盾。因此极限存在，再由等式得到 。 例4 设是上单调上升的连续函数，且对，任取，由递推公式产生序列，求证极限存在，且其极限值满足方程 。 证：首先证明递推数列单调。 若,由于f(x)的单调上升，则，因此单调升; 若,由于f(x)的单调上升，则，因此单调降; 又由题设条件知有界，因此单调有界，故存在，不妨设其极限为，再利用f的连续性，则 。 例5 设对于任意，函数f(x)满足 ，(称之为lipschitz条件)，证明存在唯一的，使。 证：构造递推数列，。 (1)首先证明满足lipschitz条件的递推数列是有界变差数列。 (2)再由柯西收敛准则证明有界变差数列是收敛的。 令，显然是单调增的且有上界M，所以存在当对任意自然数p有 由柯西收敛准则得收敛。 (3)由f(x)的连续性可证的存在不动点。不妨设. . 例6 证明：对每个正整数n，方程在上有且只有一根，并求。 解：记，当n=1时，显然的根, 对任意的正整数n1，，由连续函数的介值定理知，至少存在一点，使，即在中至少有一根，又因为 所以在上严格增加，故它在上只能有一个根。 又因为，由函数的单调性得数列是单调下降，注意到，所以存在。不妨设其极限为A， 由两边求极限得，解得. 例7. 设函数在区间上连续可导，，且，证明：存在，使得 . 证明：不妨设 ，若，则取，显然成立.若，再设 ， 则有 即 , 又因为在区间上连续，因而也在上连续，由连续函数的介值定理，存在，使得. 本题去掉导函数的连续性结论也成立。 例8.设函数在上连续，如果存在数列，使得， 求证：存在，使得。 证：由连续函数的最