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常微分方程第三章测验试卷十 一、填空（每空3分） 1、方程定义在矩形域R：上，则经过点（0，0）的解的存在区间是（ ）。 2、方程经过（0，0）点的解的存在区间是（ ）。 3、函数f(x,y)称为在R上关于y满足利普希茨条件，如果（ ），对于所有都成立。 4、如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希茨条件，则存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，这里，h=( ). 5、皮卡逐步逼近函数序列是（ ）。 6、若函数f(x,y)在区域G内（ ），且关于y满足利普希茨条件，则方程的解作为的函数在它的存在范围内是（ ）。 7、若为毕卡逼近序列，则有（ ）。 8、形如（ ）的方程，称为克莱罗方程。 9、设定义于，满足条件（ 　　　 ），则方程x=f(x)存在唯一的一个解。 二、计算题（每题10分） 1、求的解，并求其奇解. 2、求的通解及其奇解. 3、求的奇解. 4、求初值问题的解的存在区间，并求其第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。 5、求曲线族的包络. 6、求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c. 三、证明题（10分） 1、试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解. 2、试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明： 一阶线性方程，当P（x）、Q(x)在上连续时，其解存在唯一。 答案 一、1、 2、 3、存在常数L0，使得不等式 4、 5、 6、连续 连续的 7、 8、 9、其中N1 二、1、解： 这是克莱罗方程，因此方程的通解为， 从中消去c, 得方程的奇解. 2、解：从中消去p得y=-x; 再求通解，将方程写为 即 ， 通解为， 从中消去c，得x=0及y=-x， 按c—p消去法知y=-x是奇解。 3、解： ， 所以可能破坏解的唯一性，它可能是奇解. 验证1） 显然是方程的解； 2）由分离变量法，求得方程的通解是 ， 在y=1上任取一点，通解表达式中有解 通过点，且其上导数， 即此解与y=1相切，故y=1是奇解。 同理，y=-1也是方程的奇解。 4、解： 又， 由， 所以， =。 5、解：对c求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, , 代入原方程得. 经检验,得 是原方程的包络. 6、解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为， 它与X轴、Y轴的截距分别为，， 按条件有 ，化简得， 这是克莱洛方程，它的通解为一族直线， 它的包络是， 消去c后得我们所求的曲线. 三、1、证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法， 从 中消去p后而得的曲线； c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程 中消去c而得的曲线， 显然它们的结果是一致的，是一单因式， 因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. 2、证明：因为P（x）、Q(x)在上连续， 也连续， 故，当P（x）、Q(x)在上连续时，其解存在唯一。