平方可积.docVIP

平方可积函数及其性质 学号：1307010110 姓名：赵宝华 平方可积函数及其性质 定义1 设是上的可测函数，而且在上可积，这种函数之集合称为平方可积函数空间，记作。 在此要求是具有有限测度的可测集，例如是一有界开集；或者设有一串上升而穷竭的子集序列并使得每个紧子集都含有某个中。记，于是且是的外极限。每个均有有限测度。这时我们说具有有限测度。 的函数既可取实值，也可取复值。在后一情况下。 当我们定义了一个函数之后，相应会讨论它的一些性质，在此我们是对平方可积函数做一些讨论，那么我们便会对它的性质做些讨论。 定理 1 是一个线性空间。 证 设是实常数，则显然，余下只需证明即可 因为 。 而右方是可积的，左方至少是可测的，而且易证左方也是可积的。 若取复值，我们当然也应令为复值函数，复值函数的积分很容易定义：只需虚部均为可积即可。 定理 2 若则为勒贝格可积。 证 先看实空间，因 故 左方是可测的，右方由定理1是两个可积函数之和故为可积的，因此结论成立。 定义 2 设我们定义之模 定义实空间中与之内积为 复空间中的与之内积则定义为 定义的角度的根本公式是余弦定理，因为若有空间的两个向量，则余弦定理是 所以一定有反之，只要这样的不等式成立，则，所以一定可找到一个角使 定理 3 若为实值或是复值函数，则有以下的不等式成立 而且等号当且仅当与几乎处处相差一个常数因子时成立。 证 考虑这里是实数。它当然是非负的，但是可将它写成的二次三项式 其中因此必有即上述不等式成立。若等号成立，即则当时，必有一个使即从而几乎处处成立。 定义 3 若两个函数之内积为0，则说它们是互相正交，若一个函数之范数为1就称为归一的，若一个函数序列适合，则称为一个归一的正交系（以下简记为系）。 定理 4 系为完全的充分必要条件是对任意有等号成立： 证 充分性 若成立而又非0的与一切正交，因此，而由有几乎处处为0，这与非0矛盾。 必要性 今设系是完全的，证明成立。实际上，任取，而，我们来看级数。首先的问题是这个级数在什么意义下收敛。为此，我们形式的记，并取此级数的部分和序列。易见（设）。由贝塞尔不等式，，故充分大时。由此知在中收敛于一个函数，记它为，此即的意义。现在再来计算之傅里叶系数。因。取，有。令，,故得，而，由于我们已设是完全的，所以几乎处处成立。上面我们还证明了，因此。由此，但，令即知成立。