广义积分的收敛判别法.docVIP

第二节　广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞ ）上的广义积分收敛的充分必要条件是：, 存在A0, 使得b, A时，恒有 证明：对使用柯西收敛原理立即得此结论． 同样对瑕积分(为瑕点), 我们有 定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b–]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: , , 只要0，就有 定义9.5如果广义积分收敛，我们称广义积分绝对收敛（也称f(x)在[a,+上绝对可积]; 如收敛而非绝对收敛，则称条件收敛，也称f(x)在[a,+上条件可积． 由于，均有 因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分绝对收敛，则广义积分必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+)上恒有（k为正常数） 则当收敛时, 也收敛; 当发散时, 也发散． 证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f(x), g(x) 均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 [a, b), 则 如收敛，则也收敛。 2）如发散，则也发散． 比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式． 定理9.6 如果f(x), g(x)是[a,+上的非负函数, 且 则 (1) 如果, 且收敛, 则积分也收敛． (2) 如果, 且发散，则积分也发散． 证明：如果 则对于, 存在A, 当时, 即成立. 显然与同时收敛或同时发散，在l=0或 l=时，可类似地讨论. 使用同样的方法，我们有 定理9.7 对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与 如果f(x), g (x) 是非负函数，且 则 当, 且收敛时，则也收敛． 当，且发散时，则也发散． 对无限区间上的广义积分中，取作比较标准，则得到下列Cauchy判别法：设f(x)是[a,+的函数，在其任意闭区间上可积,那么: 定理9.8　若0f(x)， p1,那么积分收敛，如f(x)，p1,则积分发散． 其极限形式为 定理9.9 如 (, p1), 则积分收敛． 如, 而, 1, 则　发散. 例9.8 判断下列广义积分的收敛性。 (1) (2) (m0, n0) 解：（1）因为0 由收敛推出收敛． （2）因为 所以当n－m1时，积分收敛. 当n－m1时，积分发散． 对于瑕积分，使用作为比较标准，我们有下列柯西判别法． 定理9.10　设x=a是f(x)在[a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么 如0f(x) (c0), p1, 则收敛． 如f(x) (c0), p1, 则发散． 瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为 定理9.11 设 如0k, p1, 则收敛 如0k, p1, 那么发散． 例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。 (1) (k21) (2) (p,q0) 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点 因为 = 由知瑕积分收敛． （2）0与都是被积函数的瑕点． 先讨论 由 知: 当p1时, 瑕积分收敛; 当p1时,瑕积分发散． 再讨论 因 所以当 q1时, 瑕积分收敛， 当q1时，瑕积分发散． 综上所述，当p1且q1时, 瑕积分收敛; 其他情况发散． 例9.10 求证: 若瑕积分收敛，且当时函数f(x)单调趋向于+，则x f(x)=0. 证明：不妨设, f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上单调减少。 已知收敛，由柯西收敛准则，有 , (1), 有 从而 0 或 0x f(x) 即x f(x)=0. 例9.11 求证瑕积分(0), 当时收敛 当时发散. 证明:∵= = 所以当31时，即时，瑕积分收敛．当31，即时，瑕积分发散． 前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果． 定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上单调，则存在ξ[a,b]　使 =