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第二章 度量空间 §2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)： 目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程： 一 复习度量空间的概念 设是个集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足 ，=0; +对都成立， 则称(，)为度量空间或距离空间，中的元素称为点，条件称为三点不等式. 欧氏空间 对中任意两点和，规定距离为 =. 空间 表闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=. （空间 记=. 设，，定义 =. 二 度量空间的进一步例子 例1 设是任意非空集合，对于，令 = 容易验证 ，=0; +对都成立. 称(，)为离散的度量空间. 由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间. 例2 序列空间 令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令 =. 显然右边的级数总是收敛的. 易知，且=0. 即满足条件. 对，先证 +. 实因令 ()，则因为，所以函数 在上单调递增. 又因为 ，所以有 =++. 再令 ，，，则 . 由上述已证的不等式，得 +. 由此推得 +对都成立. 故按成一度量空间. 例3 有界函数空间 设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全体. ，定义 =.显然，且=0成立，即满足条件.又，有 ++ 所以 +. 即满足条件. 特别当时，=. 例4可测函数空间 设为上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体，为Lebesgue测度，若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数. 令 =. 若把中两个几乎处处相等的函数视为中同一个元素，则0且=0 ，即满足条件. 其次(参考例2) ==+=+，对都成立. 即 满足条件. 故按上述距离成为度量空间. 作业 205. 2. 4. 作业提示 2. 与例2处理方法类似. 4.利用 当时的递增性. §2.2(1) 度量空间中的极限 教学内容(或课题)： 目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义. 教学过程： 设为度量空间，是距离，定义 = 为的以为半径的开球，亦称为的邻域. 例1 设是离散的度量空间，是距离，则 = 仿§2.2-§2.3，设是度量空间中的一个子集，是中一点若存在的某一邻域，s.t. ，则称为的内点. 若是的内点，则称为的外点. 若内既有的点又有非的点，则称为的边界点. 若内都含有无穷多个属于的点，则称为的聚点. 的全体聚点所成集合称为的导集，记为. 称为的闭包，记为. 若的每一点都是的内点，则称为开集. 若，则称为闭集. 例2在欧氏空间中，记为全体有理数点的集合，为全体无理数点的集合.则集合及均无内点，均无外点; 既是又是的界点，既是又是的聚点; 既是又是的导集，既是又是的闭包; 、既非开集又非闭集. 若如同例1，将集合离散化，则都是的内点，都是的内点，因此、在离散空间中均为开集; 、均无界点; 之外点集合为，之外点集合为; 、均无聚点，因此，，，，故、均为闭集. 设是中点列，若，s.t. () 则称是收敛点列，是点列的极限. 收敛点列的极限是唯一的. 实因若设既牧敛于又收敛，则因为 ，而有 =0. 所以=. 附注 ()式换个表达方式：=. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离是和的连续函数. 证明 ++ -+; ++ - +. 所以|-|+ 例3 设为一度量空间，令 =， =. 问 =? 答 在空间中，必有=. 在离散度量空间中，当时，=，=，此时. 毕. 设是度量空间中的点集，定义. = 为点集的直径. 若=，则称为中的有界集(等价于固定，，，为某正数，则为有界集). 中的收敛点列是有界集. 实因，设 ，则数列收敛于0,故，s.t.有. 所以，有 + . 中的闭集可以用点列极限来定义： 为闭集 中任何收敛点列的极限都在中，