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第2章 拓扑空间 2.1 度量空间 2.1.1 度量空间的一些基本概念2.1.1 设是一个非空集合，为一个映射，若对，有 (1) ，并且； （非负性） (2) ； （对称性） (3) ； （三角不等式） 则称为的(metric)；成为度量空间或距离空间，并且当度量自明而无须特别指出时，径称为度量空间；对，实数称为从点到的距离。 度量空间的任意非空子集，就以中的度量作为上的度量，则也是度量空间，称（或）为的子空间。 例2.1. 离散度量空间。 设为任一非空集，定义如下：对， 容易验证确为的度量，并称为离散度量空间(discrete metric space)。 2.1.2 设为度量空间，，对任给的实数，集合 称为的ε-邻域（或：以x为中心，以ε为半径的开球; 或：以x为中心，以ε为半径的（球形）邻域，简称为的球形邻域）。 注1 在一般的度量空间中，球形邻域可能只含一点。 如：离散度量空间，对于不同的两点，恒有，于是对任意正数，每一点的-邻域中只含有一点，即. 注2 若在一个空间中同时定义了两个度量及，且，则按及分别所成的度量空间应该看成不同的度量空间。 一般地，若中不止一点，则在中可以引进许多度量，成为不同的度量空间。 如： 例2..2 度量空间中的度量定义分别为：对, ; ; . . 但按定义的度量，球形邻域是平面上的开圆盘；按定义的度量，球形邻域是平面上的开正方形；按定义的度量，球形邻域是平面上的开菱形, 且 . 举为例说明。 定义2.1. 设为度量空间的子集，，若存在的球形邻域包含于，则称为的内点。若的每一点都是的内点，则称是的ρ开集，简称开集。 定理2.1.1 度量空间的开集具有下列基本性质： (1) , 都是开集； (2) 任意有限个开集的交是开集； (3) 任意开集族的并是开集。 定义2.1.4 设是度量空间，，若存在的开集，满足：，则称为点的邻域。 定理2.1.2 设是度量空间，，则是点的邻域的充分必要条件是：的某个球形邻域包含于. 例2.1. 设为度量空间，为有限集或没有极限点的可列集，则的每一个子集都是开集。 证 (1) 设为有限集，是的任一子集，对，取 , 则的邻域 , 故是的内点，由的任意性知：是的开集。 (2) 设为没有极限点的可列集，设是的任一子集，对，取 , 则的邻域 . 若不然，存在，对，，则是的极限点,这与题设矛盾！ 故是的内点，由的任意性知：是的开集。 证毕！2.1.5 设是度量空间的点集，若包含在的某个开球中，则称是中的有界集(bounded set)。 2.1.2 依度量2.1.6 设是一个度量空间，. 若当时，，则称点列依度量ρ收敛于 ( converges to in metric ρ)，记作 （或：）, 并称为收敛点列 (convergent sequence)，称为点列的极限 (limit). 定理2.1.3 在度量空间中，任何收敛点列的极限是惟一的。 证 设都是点列的极限，则由定义2.1.1得 . 当时，，于是. 因此 证毕！ 2.1.4 若，，则. 即：度量是两个变元的连续函数。 证 （自习！） 定理2.1.5 设为度量空间中收敛的点列，则是有界的。 证 设，则由定义2.1.3得：对，当时，. 取 , 则. 由定义2.1.7知：是有界集。 证毕！2.1.4 在维实向量空间（称为n维Euclidean空间）中，对，，令 , (2.1.1) 易验证满足定义2.1.1中度量的3个条件，因此(2.1.1)中的是的度量（或：距离），称为Euclidean按度量(2.1.1)成为度量空间. 设，其中 , , 由 知：在中依度量收敛）就是。 ， 也是的度量. 例2.1.5 设是非负整数，是闭区间上连续，在中处处次连续可微的函数全体. 特别地，将简记为. 对，令 , 容易验证是度量，按上述度量成为度量空间。 在中，函数列依度量收敛到函数列在上都分别一致收敛（也称均匀收敛）到(uniformly converges to). 特别地，在中，函数列依度量 收敛到函数列在上一致收敛（也称均匀收敛）到. 例2.1.6 设（即：实（或：复）数列全体），对，令 ， 容易验证是度量，按上述度量成为度量空间。 设，其中,, . 可以证明： 在中依度量收敛（即：）依坐标收敛到，即：对每个自然数，均有. 例2.1.7 设是单位圆中解析函数的全体。对，令 ， 容易验证是度量，按上述度量成为度量空间。 在中，函数列依度量收敛到函数列在单位