张红娟浅谈R可积的条件.docVIP

浅谈Rimann可积的条件 张红娟 指导老师:王仁虎 （数学与统计学院 09（4）班 090901442） 摘要 本文介绍了函数在上黎曼可积的六个充要条件，提出了黎曼积分常用的几个可积充分条件的统一，并将教材中介绍的充要条件及充分条件进行了拓展，且举例说明了拓展的优越性. 关键词 R可积 几乎处处连续 至多可数 上下积分 中图分类号 o172.2 Discussion on Rimann integrable condition Instructor:Wang Renhu ZhangHongjuan (school of mathematics and stasistics,09(4)class of 090901442) Abstract:this paper introduces the function of this product in Manke six necessary and sufficient conditions,proposed by Rieman integral commonly used several integrable sufficient conditions for uniform,and will in the material necessary and sufficient conditions and sufficient conditions for the expansion,and illustrates the development superiority . Key word:R interable almost everywhere continuous at most countable points on 引言：在数学分析中，我们熟知，f在上连续则可积，但可积函数不至是连续的，有有限个间断点的有界函数和单调函数也可积，但间断点处处稠密并非单调函数却无法判断，因此仅有数学分析中的三个充分条件不仅在解决问题上远远不足，而且不够精练，那么我们就得研究更广，更简练的条件. 一、函数可积充要条件的等价描述 1 JR, 0，0, T, , ,有. 2 f在上的上几分等于下积分.即:S=s. 3 对 0，的某个分割T，使得振幅和. 4 . 5 对 0,. 6 f在上几乎处处连续. 下面给出命题的证明 命题2的证明： 必要性 设f在上可积，, 0, o,只要,就有,由于 , 又有 , 这就说明当，都以J为极限，由达布定理则S=s=J. 充分性 设S=s=J,由达布定理得： , 则,当时,满足：, 从而f在上可积，且 命题3的证明： 必要性 设f在上可积，由命题2的结论，则 即，于是，0只要足够小，总分割T，使得，充分性 由，由已知0，分割T，使得， 可推得 , 由的任意性，必有S=s，由命题2，则f在上可积. 命题4即为命题3的推论. 命题5的证明： 必要性 设f在上可积，由命题3，对某一分割T,使得，于是便有： , 由此即得. 充分性 ,由假设，某一分割T， 使得的那些的总长，设T中其余满足 .则有： = + = . 由命题3知f在上可积. 命题6的证明； 对上的有界函数f，任取分点组T，=,记 ，, 做函数 = = 其中 , . 显然 , 记 ， 约定分点增多的时候原分点不变，设，于是必为递增，必为递减，且都有界，从而极限都存在，令 ，， 则与都是可测函数，且成立不等式 ，, 由Lebegue积分有界收敛定理，有 与 ， 又 及， 上述二式右端正是在上R可积的小和与大和. 由f在上可积 a.e 即 a.e f的不连续点是零测集, 即，f在上几乎处处连续. 例1 设f在上有界，且，证明f在上只有为其间断点，则f可积. 证明 由于f在的间断点为可数个，所以的测度为零，即f在上几乎处处连续，又f在上有界，从而f在上可积. 例2 证明狄利克莱函数在上不可积. 证明 因为 =, 显然在上有界，但在处处不连续，即间断点集为，而的测度为1，在上不可积. 二、一个Rimann 可积充分条件的统一 定理 设f为定义在上的有界函数，若f有至多可数个间断点，则f可积. 证明 设f的间断点集为A，则A为至多可数集，下证至多可数集A的测度为零： 设A=，因为单点集是闭集，所以是可测集，则是可测集. ，取的领域，于是 从而 由的任意性，知 ， 从而A的测度为0.故f在上几乎处处连续，则f在上可积. 由于至多可数个间断点包括没有间断点，有有限个间断点，有可数个间断点.而连续函数没有