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《导数的概念》教学设计 南昌一中数学组 文涛 1. 教学目标 . （2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力． （3）情感、态度与价值观目标： 通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度． 2. 教学重、难点 重点：导数的定义和利用定义如何计算导数． 难点：对导数概念的理解． 3.教学方法 1. 教法：引导式教学法 在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成． 2. 教学手段：多媒体辅助教学 4.教学过程 （一）情境引入 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。 17世纪数学家遇到的三类问题： 一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。 图 1 光在平面上的反射 图 2 光在球面上的反射 二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。 三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。 (二)探索新知 问题1 已知：匀加速直线运动方程为：，，求：物体在时刻（）的瞬时速度。 问题解决：设为的邻近时刻，则落体在时间段（或）上的平均速度为 若时平均速度的极限存在，则极限 为质点在时刻的瞬时速度。 问题2已知：曲线上点，求：点处切线的斜率。 下面给出切线的一般定义；设曲线及曲线上的一点，如图，在外上另外取一点，作割线，当沿着趋近点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置，直线就称为曲线在点处的切线。 问题解决：取在上附近一点，于是割线PQ的斜率为 （为割线的倾角） 当时，若上式极限存在，则极限 （为割线的倾角） 为点处的切线的斜率。 导数的定义 定义 设函数在的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为在点处的导数，记作。 即 （2） 也可记作，，。若上述极限不存在，则称在点处不可导。 在处可导的等价定义： 设，若则等价于，如果 函数在点处可导，可等价表达成为以下几种形式： 单侧导数的概念 在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数： 定义 设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限 （） 存在，则称该极限为在点的右导数，记作。 左导数 。 左、右导数统称为单侧导数。 导数与左、右导数的关系：若函数在点的某邻域内有定义，则存在，都存在，且=。 （三）知识巩固 例题1 求在点处的导数，并求曲线在点处的切线方程。 解：由定义可得： 附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题 例题2设函数为偶函数，存在，证明：。 证 又 附注：需要注意公式的灵活运用，它可以变化成其他的形式。 例3 证明函数在处不可导。 证明　， 极限不存在。 故在处不可导。 附注：判断一个函数在某点处是否可导，只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。 （四）应用提高 求曲线在点（－1，－1）处的切线方程为 (　) A. y=2x＋1 B. y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2 （五）小结 本节课主要学习导数的基本概念，在经历探究导数概念的过程中，让学生感受导数的形成，并对导数的几何意义有较深刻的认识。 本节课中所用数学思想方法：逼近、类比、特殊到一般。 （六）作业布置 1．已知，计算： (1