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微 分 方 程 第一节 微分方程的基本概念 1.填空题 (1) 微分方程的阶是 (2) 若是微分方程的一个特解，则 ， 3 2．写出下列问题所确定的微分方程 (1)已知曲线过点，其上任意一点处的切线的斜率为 ，求满足的微分方程. (2000题531) （2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程. (2000题531) (3) 列车在水平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶( 当制动时列车获得加速度(0(4m/s2( 问开始制动后多少时间列车才能停住( 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米( 根据题意( 反映制动阶段列车运动规律的函数s(s(t)应满足关系式 ( (5) 此外( 未知函数s(s(t)还应满足下列条件( t(0时( s(0( ( (6) 把(5)式两端积分一次( 得 ( (7) 再积分一次( 得 s((0(2t2 (C1t (C2( (8) 这里C1( C2都是任意常数( 把条件t(0，v(20代入(7)得 20(C1( 把条件t(0，s(0代入(8)得 0(C2( 把C1( C2的值代入(7)及(8)式得 v((0(4t (20( (9) s((0(2t2(20t( (10) 在(9)式中令v(0( 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 (s)( 再把t(50代入(10)( 得到列车在制动阶段行驶的路程 s((0(2(502(20(50(500(m)( 第二节 可分离变量方程 填空题 （1）微分方程满足条件的解是 . 【答案】 应填． 【详解】由，得．两边积分，得． 代入条件，得．所以． 微分方程 的通解为 (3) 微分方程的通解是 【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为 ， 两边积分得　，整理得 　　　　　　　.（） 求解下列可分离变量的微分方程 (1) 解 分离变量得 两边积分得 故原方程的通解为 (2) 解 两边除以 ，并分离变量得 两边分别积分得方程的通解为 (3) 分离变量得 两边分别积分得微分方程的通解为 (4) 分离变量可得 两边积分求得的通解为 ，即有 . 第三节 齐 次 方 程 1.填空题 (1) 微分方程的通解是 (2)已知函数满足微分方程,且在时,,则时， 2.求解下列微分方程 (1) 解 令 ，则有 两边积分得 原方程的通解为 (2) 解 方程可化为 令 ，则有 分离变量解之得 原方程的通解为 (3) 解 另，则有 分离变量两端积分得 原方程的通解为 (4) 解 另 ，则方程化为 分离变量两端积分得 故原方程的通解为 第四节 一阶线性方程 选择题 下列为一阶线性方程的是（ C ） A． B. C． D. (2)*下列为伯努利方程的是( B) A． B. C. D. 填空题 (1) 满足的特解为 (2) 微分方程满足的解为. 【分析】 直接套用一阶线性微分方程的通解公式： ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 ， 于是通解为 =， 由得C=0，故所求解为 3.求解下列微分方程 (1) 解 方程改写为 由一阶线性微分方程通解公式，得 即方程的通解为 (2) 解 原方程可改写为 由一阶线性微分方程通解公式， 因此，方程的通解为 (3) 解 上方程变形为 由一阶线性微分方程通解公式，得 因此方程的通解为 第五节 可降阶的高阶微分方程 填空题 微分方程的通 经过变换　　,可化为一阶微分方程　　　　 二、求解下列微分方程的通解 (1) 解　　对原方程两端连续两次积分得 　 (2) 　解　令，则原方程化为 　　　　　　　 由一阶线性方程的通解公式，得 　. 从而有 　　　　　　　　　 两端积分得到原微分方程的通解为