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第七章 微分流形简介 自从大数学家B.Riemann提出n维微分流形的概念至今已有150多年了, 流形概念相对于殴氏空间概念的进步, 可以形象地比作“大地是球形的”思想相对于古人认为的“大地是平坦的”思想的进步. 所以在20世纪的数学领域中, 微分流形成为最重要的研究对象之一, 同时流形上的微积分(古典微积分是它的特例)也迅速从数学传到物理学、力学及工程技术界， 形成了近代物理学、力学、工程技术、近代社会经济科学的重要的数学基础。 现代科技的发展越来越显出微分流形的重要性。 流形是一种局部相似于殴氏空间的拓扑空间. 如中的球面、环面等都是二维流形的典型例子. 微分几何中的曲线与曲面也是流形的重要特例. 现实世界中， 一些物理现象的位相空间也常常具有流形的特征. 例如， 日月地三体所形成的动力系统中， 月球就大致地运行在以太阳为参考系的环面之中. 流形的特点是它一般只能局部地同胚于殴氏空间（或Banach空间， Hilbert空间等）的开子集，一般不一定能整体地同胚于殴氏空间. 例如整个球面不能与殴氏平面同胚， 但它的每一点都存在与平面上开集同胚之开邻域. 因此流形一般无全局坐标而只有局部坐标， 这是它的一个重要特征. 这里主要介绍流形的概念与实例及它应用的几个方面. 关于流形上的微积分请参考文献 [1]. §7.1 基本概念 拓扑流行与微分流形 定义 7.1.1：如果拓扑空间满足： （1）是一个有可数的拓扑基的Hausdorff拓扑空间， （2）是局部殴氏的：即对任意， 存在点的开邻域和映射，使 是同胚映射，则称是n 维拓扑流形， 叫坐标映射， 叫坐标域，叫坐标卡. 殴氏空间是一个n 维拓扑流形， 坐标映射取 id. 闭区间不是拓扑流形，因为其端点的邻域不能同胚于任何的开子集. 定义7.1.2：n 维拓扑流形上的类微分构造是上的坐标卡之集 满足： 覆盖性：； 相容性：若 ，当时， 与 都是类微分同胚. 最大性：若与中每个坐标卡是类相容的， 则. 定义7.1.3: n维拓扑流行带上类微分构造, 则称是n维类微分流形. 当时, 称作光滑(微分)流形. 惠特尼定理指出: 对任何微分流形总可找到与其微分构造是-相容的微分结构, 从而使成为微分流行(光滑流行). 所以以下只讨论光滑流形. 由一个整体坐标域构成的微分流形 定理7.1.4: 设是一个有可数的拓扑基的Hausdorff拓扑空间, 若存在同胚映射 则是n维微分流形, 其中. 证明: (1) 覆盖性: . (2) 相容性: 因为是上的恒等映射, 它是映射, 所以是n维微分流形. 注: 由一个坐标卡构成的微分流形简单地记作. 例7.1.3设, 是一个有可数基的Hausdorff拓扑空间, 恒等映射 是同胚映射, 所以是n维微分流形. 我们知道中的简单曲线是指如下映射: 既是单射又是满射, 并且是度量连续映射. 简单曲线在中的图象是不自交的连续曲线. 由定理7.1.4可以得到如下各个定理. 定理7.1.5: 设, 即 是中的简单曲线, 作映射: , , 则是1维微分流形. 注: 一般, 中的简单曲线: 是1维微分流形. 就是平面中的简单曲线. 具体例子如下: 例7.1.4. 中的圆柱螺线 是1维微分流形，同胚映射为 或 . 例7.1.5 中的开圆 是1维微分流形，同胚映射为. 定理7.1.6：由显式方程给出的定义在开区间上的平面连续曲线 作同胚映射. 其逆映射为， 则是1维微分流形. 可见，所有定义在开区间上的初等连续显函数构成的曲线都是1维微分流形.具体例子如：抛物线，正弦曲线等都是1维微分流形. 下边给出简单曲面的相关情形. 设是的单连通开集，空间中的简单曲面是指下边的映射： ，. 是一一对应的映射，并且是度量连续的. 简单曲面在中的图象是一片不自交的连续曲面. 定理7.1.7：设是中的简单曲面，作同胚映射为 ，, 其逆为. 则是2维微分流形. 例7.1.6 中的简单开球面 , 其中. 它是2维微分流形. 定理7.1.8: 中由显式方程给出的定义在平面中单连通开集上的连续曲面: 作同胚映射, 其逆为，则是2维微分流形. 注: 一般中的连续超曲面 , 其中，它是n维微分流形. 可见, 中所有由显式方程给出的定义在单连通开集上的连续曲面都是2维微分流形.例7.1.7 中的双曲面 是2维微分流形. 例7.1.8 中的平面 是2维微分流形. 定理7.1.9：设是中母线平行于轴的开柱面, 即 作同胚映射. 其逆为，则是2维微分流形. 可见，所有定义在开区间上的一元初等函数给出的曲线放在三维空间中就是中母线平行于轴的开柱面，它们都是2维微分流