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第八章 多元函数的微分学 第一节 度量空间与连续算子 §1.1 度量空间的基本概念 首先我们回忆一下，函数在点处极限存在的定义.即,当时，都有.在这个定义中涉及到的、是数轴上两个实数的距离（即两实数差的绝对值）的概念.另外，为了验证函数的连续性也常常只用到这个距离的某些最基本的性质,而与实数的其它性质无关. 对于直线上两点,它们的距离为，记为，即：. 对于平面上两点，它们的距离为记为,即： . 对于空间上两点,它们的距离为 记为, 即： . 无论是直线上两点间的距离或平面上的两点间距离或是空间上的两点间距离（即人们生活中使用的距离）它们都有几个共同的特征: (i) ,当且仅当x=y时，; (ii) ; 若还有第三点z，当z是直线上点时，利用绝对值性质, 有 ,即 . 当z是平面上的点时，利用平面三角形知识:两边之和大于等于第三边,有.我们从这一观察出发，抽象出度量距离及度量距离空间的概念，并将函数极限，连续的概念推广到度量空间上. 定义 设X为一非空集合，: X×X→R为一映射，如果对于任意, 有 (1)并且 当且仅当(非负性); (2) (对称性）; (3)(三角不等式）. 则称是两点之间的距离，又称X按照距离成为度量空间（或距离空间），记为（X，).当距离在大家都知道的情况下或简单地记作X，X中的元素称为点. 度量空间X的任何一个非空子集M，就以空间X的距离作为M中的距离，显然也是度量空间，称M为X的子空间. 对于任何非空数集X，可以如下引进距离：当时，定义=0.当时，就定义.可以验证这样定义的确实满足距离的三个条件，于是，X关于成为度量空间，这样的空间，我们称为离散空间.即一个度量空间中，如果任何两个不同的点之间的距离始终大于一个正的常数，那么就称这个度量空间是离散空间.这也说明任何一个非空集合都可以在其中适当地引进距离，使之成为离散的空间. 如果在一个空间中同时定义两个距离函数而且，那么是两个不同的度量空间.一般地说，如果X中不止一点，那未在X中可以引进许多距离，成为不同的度量空间. 因此，在一个非空集合引进距离时，要有一定的实际意义，而且对解决问题要有帮助. 例1 实数空间R. 对于实数组成的集合R，按,前面我们已经验证ρ为R的度量，因此（R，）为度量空间.这个度量空间，特别地称为实数或直线.这里定义的，称为R的通常度量，并且常略去，称R为实数空间. 例2 n维欧氏空间Rn. 对于实数集合R的n重笛卡几积, 定义如下：对于任意 ，, 显然符合距离定义中的(i)(ii),用数学归内法可以证明符合(iii).有兴趣的读者可以自己证明. 因此，按此定义的确实为的距离，因此为度量空间.这个度量空间特别地称为n维欧氏空间. 这里定义的称为的通常的度量.并节略去,称为为n维欧氏空间. 当n=1时，就是例1中的实数空间，即直线. 当n=2时，二维欧氏空间，通常称为欧氏平面.这里的距离也就是平面中的通常距离. 当n=3时, 三维欧氏空间,通常称为欧氏空间.也就是我们人类生存的空间,这里的也是我们人类生存空间常用的距离. 例3. Hilbert空间. 为所有平方的和收敛的实数序列构成的集合，即 ，且存在｝, 定义如下：对于任总,, 有意义，可以验证为的一个距离，因此（R，）为度量空间.特别地称为Hilbert空间. 这里定义的称为通常的度量，常略去，称为为Hilbert空间. §1.2 度量空间中的邻域、极限、连续 由了距离概念以后，我们可以把一元函数y=f(x)在点极限存在，在点连续的定义叙述如下: 1 当时, 都有. 若用邻城的概念叙述如下：. 2.在点处连续，即时,都有. 用邻域的概念叙述如下：时，都有. 为此，我们把邻域，极限，连续的概念引入到一般的度量空间. 定义 设()为度量空间，，对于任给的实数,集合记作或,称为以为中心，以ε为半径的空心球形邻域或的空心邻域. 集合记作或称为以为心,以为半径的球形邻域或为的邻域. 例 当是以为中心，以为半径的开区间.当是以为中心，以为半径的圆面（不包括边界曲线）.当是以为中心，认为半径的球体（不包括边界曲面）. 定义 设A为度量空间X的子集，如果对A的每一点x,都有一个x的球形邻域包含于A（x称为A的内点）,则称A为X的开集. 定义 设A为度量空间X的子集，若它的余集是X的开集，则称A为X的闭集. 例如球形邻域本身就是一个开集. 定义 设X，Y为度