微积分讲座极限与连续(讲).docVIP

微积分拓展实训讲座 第一章: （1-2次）极限与连续 这一部分内容包括极限与连续两部分，因为极限求法与导数的应用有关，而连续与可导有联系，故关于这些内容可放到第二章中导数与连续关系与三章导数的应用中去讲。 一．内容： 1.极限的定义与简单性质；2.间断点；3.极限存在准则（夹逼准则；单调有界准则）；4.无穷小的阶；5.等价无穷小求极限，6.连续定义；7.连续的性质（零点定理，有界性，等）；*8.极限的应用（连续复利，产量与价格，产品利润；细菌繁殖） 二．例题： 1. 极限的定义与简单性质 极限的实质在自变量某一变化趋势下函数的某种变化趋势；对于数列的极限主要取决于其后来的变化趋势或状态而与前有限项无关；当时函数的极限主要取决于在的附近（邻域）函数的变化状态而与邻域外的函数取值无关； 例1.（P52 2-71）设均为非负数列，且，则c必有（ ） （A）对任意n成立； （B）对任意n成立；（C）极限不存在；（D）极限不存在； 分析：数列极限是否存在，与数列前有限项无关，故（A），（B）显然不成立；（C）是未定式故极限是否存在无法确定；故只有（D）成立； 注：本题涉及数列极限的定义与简单性质； 例2. （P56 2-82）设则当n充分大时有（ ） （A）（B）（C） (D) 分析：当时指数函数是比幂函数高阶无穷大，而幂函数又是比对数函数高阶无穷大 ，故当充分大时，应有故（C）对； 注：本题考查的是无穷大阶的比较； 2.间断点：（第一类（包括可去与跳跃），第二类间断点定义（无穷与震荡）；） 例3. （P53 2-74）设在内有定义，且，则（ ） （A）必是的第一类间断点；（B）必是的第二类间断点； （C）必是的连续点；（D）在点处的连续性与点a的值有关； 分析：故如果a=0则连续；第一类间断点，及连续性与a有关，故选（D） 注：本题考查的是连续性的定义及间断点 例4. （P54 2-78）判断函数的间断点的情况（ ） （1）有一个可去间断点，一个跳跃间断点；（2）有一个跳跃间断点，一个无穷间断点； （3）有两个无穷间断点； （4）有两个跳跃间断点； 分析：显然间断点为；故有一个跳跃，一个可去间断点，选（A） 注：本题考查的是间断点的类型； 例5. （P58 2-89）设则的间断点为 分析：故间断点为，为无穷间断点。 3. 极限存在准则（夹逼准则；单调有界准则） 例6. （P55 2-80）设0ab，则，（ ） （A）a，（B），（C）b，（D） 分析：再用夹逼定理即可得，选（B） 注：如果改成n个正数的和呢？ 例7. （P55 2-79）设在内单调有界，为数列，下列命题正确的为 （ ） （A）若收敛，则收敛； （A）若单调，则收敛； （A）若收敛，则收敛； （A）若单调，则收敛； 分析： 例8. （P56 2-84）设，则数列 有界是数列收敛的 （ ） （A）充分必要条件； （B）充分非必要条件； （C）必要非充分条件； （D）既非充分又非必要条件； *例9. （P62 2-103）设数列满足 （1）证明存在；（2）求极限 4. 无穷小的阶； 例10. （P54 2-76）当时，与等价的无穷小量是 （ ） （A）；（B）；（C）；（D） 例11（P52 2-71）. 当时是等价无穷小，则k= 例12. （P57 2-85）当时用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的为 （ ） （A） （B）（C） （D） 5. 等价无穷小求极限 例13. （P60 2-99）求极限： 例14. （P60 2-100）求极限： 例15．（P64 2-107）当时与为等价无穷小，求n与a 例16（P58 2-90）若，则a= ；b= 例17.（P63 2-105）已知函数，记，求： （1）a的值； （2）若当时，是的等价无穷小，求k 6. .连续定义； 例18. （P59 2-95）连续，则 例19. （P59 2-96）设在内连续，则c= 例20. （P60 2-101）设函数问a为何值时在连续； 问a为何值时是的可去间断点。 例21. （P61 2-102）设试补充定义使得在上连续。 7. 连续的性质（零点定理，有界性，等） 例22. （P52 2-73）函数在下列哪个区间内有界 （ ） （A）（-1,0）； （B）（0,1）； （C）（1,2）；（D）（2,3） 注：本题考查的是连续函数的有界性 例23. （P63 2-106）（1）证明 方程，在区间内有且仅有一