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微积分专题讲座（下） 向量代数和空间解析几何 向量代数 设为，，为单位向量，且++=，则++=______。（—） 设（）=2，则[(+) (+)](+)=_______。（4） 若=1，=4，且（）=—3，则与的夹角=________。（arccos） 若=，=1，且与的夹角=，求： （1）+与—的夹角；【arccos】； （2）以+2与—3为邻边的平行四边形的面积。【】； 5、 设（+3）（7—5），（—4）（7—2），求与的夹角。【=】 空间解析几何 6、 设有直线：==，：==，求过且平行于的平面方程。 7、 求经过点P（2，-3,1）并且与直线L：==垂直相交的直线方程。 8、 求直线L：==在平面：x-y+2z-1=0上的投影直线的方程，并求绕y轴旋转一周所成的曲面方程。 二、多元微分学 概念及其关系 函数z=f（x，y）在点（，） （极限存在）←（连续）←（可微）←（偏导数连续） ↙↘ （可偏导）（方向导数存在） 1、 讨论f（x，y）=在点（0,0）处的连续性、可导性。 2、 讨论f（x，y）=在点（0,0）处的连续性、可导性和可微性。 3、 讨论f（x，y）=在点（0,0）处连续性、可导性和可微性。 4、 设函数f（x,y）在点（）的两个偏导数都存在，则（ ）【C】 （A）f（x，y）在点（）连续； （B）f（x，y）在点（）可微； （C）f（x，）与f（，y）都存在； （D）f（x，y）存在。 5、 二元函数f（x，y）在点（0,0）处可微的一个充分条件是（ ）【C】 （A）[f(x,y)-f(0,0)]=0; ( B) 且； （C）；（D）[(x,0)—(0,0)]=0,且[(0,y)—（0,0）]=0。 偏导数与全微分 6、 设z=（+），求与。 7、 设z=，u=ln，v=arctan，求。 8、 设f（u，v）有二阶连续偏导数，g（u）有二阶连续导数，且z=f（xy，）+g（），求。 9、有连续偏导数，函数z=z（x，y）由方程=0所确定，证明+=。 10、 设函数有连续偏导数，函数，分别由方程 ，所确定，求。 11、 设函数有连续偏导数，函数由方程所确定，求。 12、 设，由方程和确定，有一阶连续导数，F有一阶连续偏导数，求。 13、 若函数满足，则称为n次齐次函数，设n次齐次函数具有二阶连续偏导数，证明： （1）； （2）。 14、 设具有二阶连续偏导数，且，，是由方程确定的隐函数，证明：。 15、 设在点处可微分，且，，，，求。【51】 16、 设函数在内具有二阶导数，且满足等式，若，，求函数的表达式。 17、设具有二阶连续导数，满足，求。 18、设具有二阶连续偏导数，且满足，求所满足的一阶微分方程，并求其通解。 方向导数和梯度 19、设是曲面在点处指向外侧的法向量，求在点沿方向的偏导数。 20、设一礼堂顶部为一个半椭球面，其方程为，求下雨时过屋顶上点处的雨水留下的路线方程。 21、曲面与平面平行的切平面方程为___________.【，关键是切点、法向量】 22、曲线在处的切线方程为__________，法平面方程为_____________。 极值、条件极值与最值 23、设是由确定的函数，求的极值点和极值。 24、已知曲线，求曲线上距离最远的点和最近的点。【】 25、已知函数的全微分，并且，求在上的最大值和最小值。【最大值为3，最小值为-2】 26、求椭球面的内接长方体的最大体积。【建立函数关系，化为函数的最值问题】 三、重积分 二重积分 二重积分的概念、性质（类似定积分） 二重积分计算公式 若果积分区域D为x型区域：则 如果积分区域D为y型区域：则 如果积分区域D：，则 利用对称性计算二重积分 若区域D关于x（或者y）轴对称，f（x，y）关于y（或者x）是奇函数，则 若区域D关于x（或者y）轴对称，f(x,y)关于y（或者x）是偶函数，则 若区域D关于x轴和y轴都对称，f(x,y)关于y和x都是偶函数，则 若区域D关于直线y=x对称，则，特别地， 计算二重积分的步骤 画出积分区域D；考察对称性、选择坐标系、积分次序并确定积分限（关键）； 表为二次积分并计算二次积分； 注意： （1）选择坐标系、积分次序的依据是被积函数和积分区域：当积分区域为圆域、环域及其部分域，被积函数含时，可以考虑采用极坐标计算二重积分。 （2）计算二重积分的关键是确定积分限，要熟练的掌握确定积分限的方法。（直角坐标：投影找区间，穿刺找线段；极坐标：旋转找区间，穿刺找线段） 例题 1、设D是由y=x,y=在第一象限所围区域，求.【】 2、求，D是由围成的第一象限区域。【】 3、计算。【】 4、求，D由，，围成。 5、