微积分部分无穷级数.docVIP

第六部分 无穷级数 [填空题] 1．数项级数的和为 。 2．数项级数的和为 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设，若级数收敛，则的取值范围是。 分析：因为在时，与是等价无穷小量，所以由可知，当时，与是等价无穷小量。由因为级数收敛，故收敛，因此。 4．幂级数在处条件收敛，则其收敛域为 。 分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的端点，所以收敛半径为。由因为在时，级数条件收敛，因此应填。 5．幂级数的收敛半径为 。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为 ， 所以，根据比值判敛法，当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散。由收敛半径的定义，应填。 6．幂级数的收敛域为 。 分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数收敛半径为，收敛域为；幂级数收敛域为。因此原级数在收敛，在一定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在也一定发散。故应填。 7．已知，且对任意，，则在原点的幂级数展开式为 。 分析：根据幂级数的逐项积分性质，及，得 ， 故应填。 8．函数在处的幂级数展开式为 。 分析：已知，所以 。 根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。 9．已知，是的周期为的三角级数的和函数，则的值分别为 ，。 10．设 ， 其中 ，则。 [选择题] 11．设常数，正项级数收敛，则级数[ ] (A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 (D)敛散性与的值有关。 答 C 分析：因为，且正项级数收敛，所以收敛。又因为 ， 所以原级数绝对收敛。 12．设，则级数[ ] (A) 与都收敛。 (B) 与都发散。 (C) 收敛，发散。 (D) 发散，收敛。 答 C 分析：因为，所以级数是满足莱布尼兹条件的交错级数，因此收敛。因为 在时与是等价无穷小量，且调和级数发散，所以发散。 13．设，则下列级数中肯定收敛的是[ ] (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。 答 D 分析：因为，所以。又因为，且收敛，所以收敛。另外，取，可以说明不能选(A)及(C)；取， ，因为 发散，所以发散。 14．下列命题中正确的是[ ] (A)若，则 。 (B) 若，且收敛，则收敛。 (C)若，且收敛，则收敛。 (D) 若，且与收敛，则收敛。 答 D 分析：因为，所以。又因为与收敛，所以收敛，因而收敛。故收敛。 因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对。例如取级数与可以说明(B)不对，取级数与就可以说明(C)不对。 15．下列命题中正确的是[ ] (A) 若与都收敛，则收敛。 (B) 若收敛，则与都收敛。 (C) 若正项级数发散，则。 (D) 若，且发散，则发散。 答 A 分析：因为，所以当与都收敛时，收敛。取可以排除选项(B)；取排除选项(C)；取级数与可以说明(D)不对。 16．若级数，都发散，则[ ] (A) 发散。 (B) 发散。 (C) 发散。 (D) 发散。 答 C 分析：取可以排除选项(A),(B)及(D)。因为级数，都发散，所以级数，都发散，因而发散。故选(C)。 17．设正项级数收敛，则[ ] (A) 极限小于。 (B) 极限小于等于。 (C) 若极限存在，其值小于。(D) 若极限存在，其值小于等于。 答 D 分析：根据比值判敛法，若极限存在，则当其值大于时，级数发散。因此选项(D)正确。取排除选项(C)。因为正项级数收敛并不能保证极限存在，所以选项(A)，(B)不对。 18．下列命题中正确的是[ ] (A) 若幂级数的收敛半径为，则。 (B) 若极限不存在，则幂级数没有收敛半径。 (C) 若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。 (D) 若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。 答 D 分析：极限只是收敛半径为的一个充分条件，因此选项(A)不对。幂级数没有收敛半径存在而且惟一，所以选项(B)不对。取级数可以排除选项(C)。选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。 19．若幂级数在处条件收敛，则级数 [ ] (A)条件收敛。 (B)绝对收敛。 (C)发散。 (D)敛散性不能确定。 答 B 分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径为。因此幂级数在处绝对收敛，即级数绝对收敛。 20．设函数 ， 而 ， 其中 ， 则的值为[ ] (A)。 (B)。 (C)。 (