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清华大学本科生考试试题专用纸 微积分Ⅲ期终考试 A卷 2006年 1 月8 日 姓名 学号 班级 一、填空题（每空题3分，共39分） 1．曲面在点的切平面方程是. 2．设为连续可微函数，.令，则 (4,2,2) 。 解：，，. 3．设为球面上的不与坐标轴相交的一片，则上的点的外侧单位法向量是；如果的面积等于，则 . 解：,..原积分. 4．常微分方程的通解为。 5．设常微分方程有三个线性无关解，和．则微分方程的通解是. 6．假设函数满足方程．则0　。 7．设空间光滑曲面的方程为，，上侧为正．其中函数有连续的偏导数．则。 解：. 8．设，则三重积分可以化成球坐标系下的累次积分. 9．是由曲线、直线，以及轴围成的平面区域，则． 解：． 10．锥面含在柱面内部的面积等于。 11．设为曲线，则。 解： 二、解答题 12．(８分)是锥面与平面围成的空间区域．计算 解. 解法１：先一后二： 由对称性有 　　．．．．．．．．．．．．．　　　　　　　　２分 …．．．………………５分 . 　　　　　　　　　　　　　………………………８分 解法２：先二后一： 　　．．．．．．．．．．．　．．　　　　　　　２分 　　　　　　　　　　 其中是区域，　　　　　　　　　　　 ………………………５分 　　　　　　　　　　　………………………８分 13．（１０分）设是抛物．在任意点一点的质量密度为．求的质心． 解. 求质量：　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分 　　　　　　　　　　　．．．．．．．．．．．．３分　　　　 ．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５分 静力矩 有对称性知道．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．．６分 　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．７分 　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．８分 ．　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．９分 质心的坐标．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．１０分 有同学理解成三重积分。如果质量和静力矩写到下面的结果： . ， 则可以得8分。其后视具体情形而定. 1４．(10分)如图，是有向光滑曲线，起点为原点，终点为．已知与线段围成的区域的面积等于．有连续导数．计算曲线积分 解：根据格林公式得到 于是 对于后一个积分，取为参数．，． ..10分 15． (8分)设为平面在第一卦限中的部分的边界，方向是．空间有一个力场 ． 求单位质点在上某点出发，绕运动一周时，对于质点所做的功．　 解：设上侧为正．由斯托克斯公式, 单位质点在上某点出发，绕运动一周时，对于质点所做的功等于 …….3分 16．(10分)设在上有二阶连续导数且 又设对于空间中的任意一张光滑的闭合曲面，都有，求． 解由题意，在任意一个由光滑简单封闭曲面围成的区域上，由高斯公式有 所以由的任意性有 　　　　　　　．．．．．．．．．．．７分 即常微分方程 齐次方程通解：，非齐次方程特解．一般表达式 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．１０分 17． (12分) ①　设是任意一个正数，是圆周 (逆时针方向).计算积分 ②　如果将换成不经过原点但环绕原点的光滑、简单的闭合曲线(逆时针方向)．计算上述积分. ③　向量场在右半平面有没有势函数？简述理由. ④　设为从到的有向线段，计算 　　　 　　　． 解： ①　圆周参数方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．．．４分 ②　在内部做圆周(逆时针方向)．设为和包围的区域．由格林公式得到 所以 　　　　．．．．．．．．．．８分 ③　右半平面是单连通区域，并且．所以在右半平面有势函数． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．１０分 ④　求得向量场的势函数为 ．于是 ．　　　　．．．．．．．．．１２分 18．(６分) 设是圆域: .在上有连续偏导数, 且处处满足方程 ． 求证在恒等于常数．如果是不包含原点的圆域，举例说明上述结论未必正确. 解：按照下列三个要点给分． 要点 1: 由条件推出沿径向的方向导数恒等于零。 要点２：进而推出在过原点的任意直线上恒等于常数。 要点３：在原点连续，又推出在所有直线上都相等。 第 1 页/共 2 页