戴得金定理证明.docVIP

Ⅰ 戴德金定理； Ⅱ 单调有界数列必收敛定理（一般的，我们取单调递增有上界数列）； Ⅲ 确界原理（一般的，我们取非空有上界数集）； Ⅳ 闭区间套定理； Ⅴ 致密性定理； Ⅵ 柯西收敛准则； Ⅶ 有限覆盖定理． 在证明它们的等价性时，一般采用循环证法，但在本篇论文中，为了说明这七个命题都可以作为构造实数的公理性命题，我们选择从一个命题出发，来证明其余六个命题．下面给出这42个证明过程． ⅠⅡ：（戴德金定理单调有界数列必收敛定理） 证明：设数列{}单调递增且有上界，其上界构成集合，令，则构成了实数集的一个分划（满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，中有最大数或中有最小数． 若中有最大数，不妨设为，则由的构造可知不是{}的上界，使，则，且为数列{}的上界，由数列{}单调递增可知，均有，从而{}极限存在． 若中有最小数，不妨设为，现在证明即为数列{}的极限．事实上，是数列{}的上界，且对不属于，从而不是{}的上界，即，又因为{}的单调性，从而： 也即，数列{}收敛于． ⅠⅢ：（戴德金定理确界原理） 证明：设数集非空且有上界，其上界构成集合，令，则构成了实数集的一个分划（满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，中有最大数或中有最小数． 若中有最大数，不妨设为，则由构造可知不是数集的上界，从而存在 ．即为的上界，因此，数集的上确界存在． 若中有最小数，不妨设为，则对不是的上界．从而 使： ． 也即，的上确界存在． ⅠⅣ：（戴德金定理闭区间套定理） 证明：设{}是递缩的闭区间列，数列{}的上界构成集合，则我们可知{}，令，则构成了实数集的一个分划（满足非空，不漏，有序）．由戴德金定理可知，中有最大数或中有最小数． 若中有最大数，类似前面证明可知，数列{}自某一项之后恒为常数，从而数列{}的极限存在，设，则： 即 点唯一且属于所有的闭区间． 若中有最小数，不妨设为，则对，有： ． 且因 可知： 从而 点唯一且属于所有的闭区间．[7] ⅠⅤ：（戴德金定理致密性定理） 证明：对任意有界数列{}，定义为的子集： ︱ 令为有限集或空集}；为无限集}．根据上述定义，显然可以得出是实数集的一个分划，由戴德金定理可知 有且仅有下列两种情况： （1）即，此时存在，当就有，但另一方面因此，从而有无穷多个满足．今取： ，则使； ，则使； … ，则使； … 于是得到{}的一个子列{}，其中，这说明． （2） 即 这说明为有限集，为无限集，即内有无限多个{}中的点，同上可得到数列{}的收敛子列{}且． ⅠⅥ：（戴德金定理柯西收敛准则） 证明：类似上述讨论，数列{}有收敛子列{}，即对 均有： 又因为{}为柯西列，对上述 有： 因而取，则，从而对上述 有： 即．数列{}收敛． Ⅰ Ⅶ：（戴德金定理有限覆盖定理） 证明：假设闭区间被开区间集所覆盖，若闭区间没有被开区间集有限覆盖，则将闭区间二等分为，，必有一个闭区间没有被有限覆盖，记为，依此类推，得到递缩的闭区间列{}，根据戴德金定理推出闭区间套定理的结果可知，有唯一的一个点属于所有的闭区间，又因为闭区间被开区间集所覆盖，则对点的某一邻域必存在中一个区间，使得，又当充分大时有，即被区间所覆盖，这与{}的取法矛盾． ⅡⅠ：（单调有界数列必收敛定理戴德金定理） 证明：设为实数集的一个分划，且中没有最大值，现在来证中必有最小值 事实上，我们可作严格递缩的闭区间列{}，其中： 则由分划的构造可知数列{}单调递增且有上界，{}单调递减且有下界，根据单调有界数列必收敛定理，数列{}，{}的极限均存在，可设 则： 即 若，因中没有最大值，则使，又 则显然对，有： ，即． 因而，由的任意性，可知，这与为实数集的分划相矛盾．因而，且对任意的均有，为的最小数． ⅢⅠ：（确界原理戴德金定理） 证明：设为实数集的一个分划，且中没有最大值，现在来证中必有最小值．事实上，非空且有上界，从而其上确界存在，不妨设，，否则中有最大数，与假设矛盾．从而且为的最小值，因为若存在且，则因为为上确界，对必有，使得，因而我们有，矛盾．也即中有最小值． ⅣⅠ：（闭区间套定理戴德金定理） 证明：设为实数集的一个分划，且中没有最大值，现在来证中必有最小值．事实上，任取两点 则将闭区间二等分为，，必有一个闭区间即含有中元素，又含有中元素，记为，依此类推，可得到递缩的闭区间列{}，则由闭区间套定理，有唯一的一个点属于所有的闭区间，因为中无最大值，又因为数列{}严格递增且以为极限，可知，现在来证为的最小值．否则，若存在且，则当充分的时，有 这与中必含