2006年考研数学二真题及参考答案一、填空题1－6小题，每小题4分.doc

2006年考研数学二真题及参考答案 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线 的水平渐近线方程为 （2）设函数在处连续，则 （3）广义积分. （4） 微分方程的通解是 （5）设函数由方程确定，则 （6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 . 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A) . (B) . (C) . 　　　　　(D) 　 . 　　 [ ] （8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是 （A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数 （C）在间断的奇函数 （D）在间断的偶函数. [ ] （9）设函数可微，，则等于 （A）. （B） （C） （D） [ ] （10）函数满足的一个微分方程是 （A） （B） （C） （D） [ ] （11）设为连续函数，则等于 （Ａ）. （B）. (C)　.　　(D) . [ ] （12）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若，则. (B) 若，则. (C) 　若，则. (D) 　若，则. 　　　　　　　　　 [ ] （13）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 若线性相关，则线性相关. 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. [ ] （14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则 （Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）. （Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　［　　］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定的值，使得 ， 其中是当时比高阶的无穷小. （16）（本题满分10分） 求 . （17）（本题满分10分） 设区域， 计算二重积分 （18）（本题满分12分） 设数列满足 （Ⅰ）证明存在，并求该极限； （Ⅱ）计算. （19）（本题满分10分） 证明：当时， . （20）（本题满分12分） 设函数在内具有二阶导数，且满足等式 . （I）验证； （II）若，求函数的表达式. （21）（本题满分12分） 已知曲线L的方程 （I）讨论L的凹凸性； （II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程； （III）求此切线与L（对应于的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩； （Ⅱ）求的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分） 设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解. (Ⅰ)　求的特征值与特征向量； (Ⅱ)　求正交矩阵和对角矩阵,使得. 1…..【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可. 【详解】 . 故曲线的水平渐近线方程为 . 【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？ 2…….【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可. 【详解】 由题设知，函数在 处连续，则 ， 又因为 . 所以 . 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型. 3….【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解. 　　　　　 【详解】 . 【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限. 4……..【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为 ， 两边积分得　，整理得 　　　　　　　.（） 【评注】 本题属基本题型. 5……【分析】本题为隐函数