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高等微积分复习题――拓扑 设为距离空间，是的子集．求证 （１）；（２），说明其中的“”不能改成“”； （３）；　（４）研究和是什么关系？ ２．设为距离空间，是的子集．下面的关系式是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例． （１）；（２）；（３）若，则． ３．对于下列距离空间和子集合，求，，，． （１），； （２），，； （３），；（４），； （５），；（６），． ４．设是上所有黎曼可积函数构成的集合．对于任意，规定．求证阶梯函数（分段常值函数）构成的集合在中稠密． ５．设和是两个距离空间．为映射．仿照函数的一致连续性给出映射的一致连续性定义．并且证明：若为连续映射，是自列紧集．则映射在上一致连续． ６．在距离空间中，如果集合可以表示成可列个开集的交集，则称是型集；如果集合可以表示成可列个闭集的并集，则称是型集．求证： （１）在任意距离空间中，型集的余集是型集；型集的余集是型集． （２）在中，有理点集是型集；无理点集是型集． ７．设是两个距离空间．是连续映射．求证将中的列紧集映为中的列紧集． ８．设是的一个有界闭集，是的一个闭集．求正存在和，使得． ９．（１）设，是的有界闭集，求证在中存在互不相交的开集，满足，． 　　 （２）在中，令，．能否在找到两互不相交的开集，使得，？ １０．（１）叙述集合稠密的概念，叙述稠密的两个充分必要条件． ．（２）设为有理点集．是一个无理数．求证是无理点的子集，并且是中的稠密集． （３）将中的有理数排成一列．对于每个，做开区间．根据你的知觉，这一列开区间的并集能否覆盖？ （４）计算：这一列开区间的长度之和等于多少？再回答第三个问题． １２．设是一列非空集合（）不一定是距离空间中的子集）．令 ， （１）判定这两个集合的包含关系，（２）用简明的语言说明两个集合的特点；（３）＊这两个集合中蕴含的逻辑与数列极限定义有什么联系？