拓扑空间开集闭集闭包聚点邻域.docVIP

拓扑空间与拓扑不变量 数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性 §1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域 一、问题的引入 数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，xn),Y=(y1,y2,…，yn) 之间的距离 d(x,y)= 。 无论是几维空间，它的距离都有下面的性质： 1. d(x,y)≥0 , x,y∈ ; 2. d(x,y) = 0 x = y ; 3. d(x,y) = d(y,x) x,y∈ ; 4. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) , x,y,z∈ ; 这些性质反映了距离的特征。 将推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。 （一 ） 度量空间 定义 定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有 ①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 x = y ； ②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ； ③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z) 则称ρ是集合X中的一个度量。 如果 ρ是集合X中的一个度量，则称偶对（X，ρ）是一个度量空间，或 径称X是一个度量空间。而ρ（x,y）称为从点X到点Y的距离。 度量空间举例 实数空间R 对实数集合，定义ρ：R×R→R如下：x,y∈R，令ρ（x,y）=|x-y| ,易知ρ是R的一个度量。因此（R,ρ）是一个度量空间。 可见，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广。 n维欧式空间 对实数集合R的n重笛卡尔积=R×R×…×R，定义ρ：×→R如下：对任意两点x=(x1 ,x2,…，xn),Y=(y1,y2,…，yn) ∈，令ρ（x,y）= ， 可以验证ρ是的一个度量，偶对（，ρ）称为n维欧氏空间。有时径称为n维欧氏空间。n=2时，常称为欧氏平面或平面。 Hilbert空间H 记H是平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H={ x=(x1 ,x2,…，xn) | xi ∈R, i∈Z+ , },定义ρ：H×H→R如下：对于任意x=(x1 ,x2,…，xn),Y=(y1,y2,…，yn) ∈H，令ρ（x,y）= 。这个定义的合理性及验证以及验证ρ是H的一个度量，可见P49 附录。因此（H, ρ） 是一个度量空间，称为Hilbert空间。 离散的度量空间 设（X, ρ）是一个度量空间，称（X, ρ）是一个离散的度量空间或称ρ是一 个离散的度量，如果对每一个x∈X,存在一个实数使得ρ（x,y） ,对任何y∈X，y ≠ x成立。 如，设X是一个集合，定义ρ：X×X→R ,使得对于任何x,y∈X,有 , 易知ρ 是X的一个离散度量，度量空间（X, ρ）是离散的。 思考题 例2.1.5 令X= C ([a,b]) = {f: [a,b]→R |f在[a,b]上连续}，并且对于任意的f , g ∈C ([a,b]),令d(f,g)= , d是C ([a,b])的度量吗？ （答案： d是C ([a,b])的度量，因此（C ([a,b])，d）是一个度量空间） 邻域、开集 ⑴ 度量空间的球形邻域及其基本性质 定义2. 设（X, ρ）是一个度量空间，x∈X, 对于任意的ε0， B（x, ε）ρ（x,y） ε} 称为以x为中心，ε为半径的球形邻域， 也称为x的一个ε邻域，也记作Bε(x) 。 定理1.0.1 度量空间（X, ρ）的球形邻域具有以下性质： ① 每一点x∈X至少有一邻域，并且x属于它的每一个邻域； ② 对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于 两者； ③ 如果y∈X属于x的某个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域。 证明： … … ⑵ 度量空间的开集及其基本性质 定义3. 设X是一个度量空间，AX，如果，使B(a, ε) X ，则称A是X的一个开集。 由定理2.1.1的③知，X的球形邻域都是开集。 例2.1.7 实数空间R中的开区间都是开集，而半开半闭区间、闭区间都不是开集。两个开区间的并