2012年湖北数学考纲说明.doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试大纲湖北 数学学科考试说明（四） 【试题37】（2007年湖北卷理科第19题） 在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于、两点. （Ⅰ）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值； . 【答案】（Ⅰ）依题意，点的坐标为 方法1： ， 又由点到直线的距离公式得， 从而， 方法2：利用面积和的方式 ， 方法3：利用向量形式的三角形面积公式 ∵， ∴ 而 ， 由此可见，当时， （Ⅱ）假设满足条件的直线：存在，的中点为，与以为直径的圆相交于点、，的中点为，则，点的坐标为. ∵， ， ∴ ， ∴ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为 ，即抛物线的通径所在的直线. 【】本题考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查代数化研究解析几何问题的思想和方法，以及综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. 【试题38】（2007年理科第21题 已知为正整数. （）用数学归纳法证明：当时，； （）对于，已知，求证； （）求出满足等式的所有正整数. 【】 （）证：用数学归纳法证明： （）当时，原不等式成立；当时，左边，右边， 因为，所以左边右边，原不等式成立； （）假设当时，不等式成立，即，则当时， ，于是在不等式两边同乘以得 ， 所以即当时，不等式也成立. 综合（）、（）知，对一切正整数，不等式都成立. （）证：当，时，由（）得， 于是， （）解：由（）知，当时， ， ， 即. 即当时，不存在满足该等式的正整数. 故只需要讨论的情形： 当时，，等式不成立； 当时，，等式成立； 当时，，等式成立； 当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立； 当时，同的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的只有. 【说明】本题考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识，考查观察、猜测等数学方法的运用以及方程思想. 【试题39】（2006年理科第21题 设是函数（）的一个极值点. （）求与的关系（用表示），并求的单调区间； （）设，. 若存在使得成立，求的取值范围. 【】 （） 由得. 所以， 令得 由于是的极值点，故，即 当时，故在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数； 当时，故在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数. （）解法1：（顺向思考方法）当时，故在上为增函数，在上为减函数， 因此在上的值域为 而在上为增函数，所以值域为 注意到－，故由假设知 解得故的取值范围是 （）解法2：（逆向思考方法）“存在使得成立”的否定是“对任意的，都有成立”，同解法1的推理可得到 从而应有在的前提下，可解得， 故取补集可得问题（）所求的取值范围为 【】本题将函数与不等式有机整合，主要考查函数的单调性和值域的概念，围绕着这个概念，重点考查函数的单调区间和最值的求法. 考点涉及到复合函数的求导、函数性质、不等式解法、集合关系等 【试题39】（2011年湖北卷理科第21题） （）已知函数，求函数最大值； （）设均为正数，证明： （1）若，； （2）若，. 【答案】 （Ⅰ）解：的定义域为. 令，解得.当时，，所以在内是增函数； 当时，，所以在内是减函数； 故函数在处取得最大值. （）（1）由（）知，当时，有，即. ，，从而有，得. 求和得. ，，即. （2）先证. 令，则， 于是由（1）得，即， . 再证. 记，令，则 于是由（1）， 即，. 综合，（2）得证. （1）由（）知，当时，有，即. 因为，所以. 又由，得. 于是由，可得 ，即. （2）先证. 由（）知，当时，有，即. 所以当时，有，即. 从而由，有. 因为，且，所以 ， 即，故. 再证. 记，则同前可得， 于是 ，即，故. 综合，（2）得证. 本题 二、选考内容题型示例 【试题1】（2011年广东卷理科第14题） （坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为. 【答案】 【试题2】（2011年陕西卷理科第15题） （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为. 【答案】3 【试题3】（2011年陕西卷理科第15题） （几何证明选做题）如图，， 且，则. 【试题4】（2011年广东卷理科第15题） （几何证明选讲）如图，过圆外一点P分别作圆的切线和割线交圆于，且，是圆上一点使得，则. 【答案】 44 / 45