指南连续型随机变量及其分布.docVIP

第三章 连续型随机变量及其分布 一．内容提要 （一）一维连续型随机变量及其概率分布 1．随机变量的分布函数 对任意实数，，称为随机变量的分布函数。 分布函数具有下述性质： （1）单调非减； （2）且，； （3）右连续。 设随机变量的分布函数为，则有 ． 一维连续型随机变量和密度函数 （1）概率密度函数 设随机变量的分布函数为，若存在非负函数，使得对任意实数，有 ，则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数，简称密度函数。 密度函数具有下述性质： ① ； ② ； ③ ； ④ 在的连续点上有 ． 对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值的概率为0，即． 由此，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不区分是开区间还是闭区间或 半开半闭区间了。 （2）常见的连续型分布 ① 均匀分布 ② 指数分布 为常数 ③ 分布 其中为伽马函数，，为常数。当时就是参 数为的指数分布；当（n为整数），时，就是自由度为n的分布。 ④ 正态分布 ， 其中，为常数；当=0，=1时，称为标准正态分布，记为，密度 函数和分布函数分别用，表示。 ， ， 易知 ， 设 ，则有 设，若满足条件，，则称点为标准正态 分布的上分位点。 （二）二维连续型随机变量及其概率分布 1．二维随机变量的联合分布及边缘分布 对任意两个实数，称为的联合分布函数，它具 有下述性质： （1）是变量和的不减函数； （2），且， ； （3）对或都是右连续的； （4）对于任意，，均有 ． 称 为关于随机变量的边缘分布函数； 为关于随机变量的边缘分布函数。 二维连续型随机变量及其联合密度函数 （1）的密度函数 若的分布函数，其中是非负函数，则称为二维连续型随机变量，称为的密度函数。 （2）二维密度函数的性质 ① ； ② ； ③ ； ④ 在连续点处有． （3）二维均匀分布和二维正态分布 若为平面上的有界区域，其面积为，若的密度函数为 则称服从区域上的二维均匀分布。 若的密度函数为 ，，其中，，，， 则称服从二维正态分布，记为( 边缘密度函数 设的密度函数为，则关于的边缘密度函数为：，同理有( 若，则有，( 条件密度函数 设的密度函数为，对于给定的，则称为在条件下，关于的条件密度函数；称为在条件下，关于的条件密度函数。 类似地可以定义和。 若，则有 ； 同理可得 由上可见，二维正态分布的边缘分布与条件分布仍为正态分布。 随机变量的独立性 若随机变量对任意实数有 ， 即 ， 则称这n个随机变量相互独立。 对连续型，等价条件为对一切的的连续点成立。 若，则与相互独立当且仅当. 若相互独立，且，，则 ， 其中，为常数，且. （三）连续型随机变量函数的密度函数 1．一维连续型随机变量函数的密度函数 设随机变量的密度函数为，又设函数处处可导且恒有，则是连续型随机变量，其密度函数为： . 若不满足上述条件时，一般采用分布函数法：先求，然后求. 二维连续型随机变量函数的密度函数 设，而的密度函数为，则有 . 和的分布 设，则的密度函数为 ； 当相互独立时， ； 或 商的分布 设，则的密度函数为 ； 当相互独立时， ． （3）最大值和最小值的分布 设相互独立，的分布函数为，，令，，则 ，； 若又是同分布的，即，，则 ，． 二．典型例题分析 例3.1设分别为与的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，下列给定的数值中应取 （） ， （） ， （） ， （） ， 解 分布函数的性质中有一条是，而 ， 在4个选择中只有（）满足，故此题选（）． 例3.2假设随机变量的绝对值不大于1，；；在事件发生的条件下，在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求的分布函数。 解 因为 ，又，, 所以 , 当时，； 当时，; 当时，由题意知 ． 从而 注意：此例中的随机变量既不是离散型的，也不是连续型的，一般称其为混合型。 例3.3设随机变量的分布函数为 则