基于倒立摆的现代控制模型建立及基于倒立摆的现代控制模型建立及答案.doc

基于倒立摆的现代控制模型建立及分析 姓 名： 学 号： 教 师： 专 业： 二〇〇九年十二月二十九日 目 录 第一章 绪论 1 第二章 倒立摆系统建模 2 2.1 状态空间表达式 2 2.1.1 数学模型建立 2 2.1.2 状态变量及状态空间表达式 3 2.1.3 系统的约旦标准型 4 2.1.4 系统的并联实现 5 第三章 倒立摆系统状态空间表达式的解 7 3.1 状态转移矩阵 7 3.2 系统在单位阶跃函数作用下的解 7 第四章 倒立摆系统的能控性和能观性 8 4.1 倒立摆系统的能控性 8 4.2 倒立摆系统的能控标准型 8 4.2.1 能控标准Ⅰ型 8 4.2.2 能控标准Ⅱ型 9 4.3 倒立摆系统的能观性 10 4.4 倒立摆系统的能观标准型 10 4.4.1能观标准Ⅰ型 10 4.4.2 能观标准Ⅱ型 11 第五章 倒立摆系统的稳定性与李亚普诺夫方法 12 第六章 倒立摆系统的综合 13 6.1 系统性能指标的确定 13 6.2 系统极点配置 13 6.3 状态观测器 14 6.3.1 全维状态观测器 14 6.3.2 降维观测器 15 6.4 利用状态观测器实现状态反馈 18 第七章 倒立摆系统的最优控制方案及控制器设计 20 参考文献 21 绪论 倒立摆作为一个高阶次、多变量、非线性和强祸合的自然不稳定系统，一直是控制领域研究的热点问题。它广泛应用于控制理论研究、航空航天控制、机器人、杂技顶杆表演等领域，在自动化领域中具有重要的理论价值和实践价值。这些物理装置与控制系统的稳定性密切相关，深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。 倒立摆的研究具有重要的工程应用价值。如机器人问题，机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来己有三十多年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。再如太空应用中，倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，它也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象，因此，倒立摆机理的研究又具有重要的工程应用背景，成为控制理论中经久不衰的研究课题。倒立摆的控制方法，在军工、航天和机器人领域有广泛的用途，对处理一般工业过程亦有指导性作用。 倒立摆常见类型有：（1）直线型倒立摆，（2）环型倒立摆，（3）旋转式倒立摆，（4）复合倒立摆系列。由于时间水平有限，本文仅针对一阶直线型倒立摆进行现代控制分析。图1.1为一级倒立摆装置简图。 图1.1 一级倒立摆装置简图 倒立摆系统建模 2.1 状态空间表达式 2.1.1 数学模型建立 倒立摆系统由质量为M的小车和质量为m，长度为L的的连杆即摆构成。连杆的一端与小车通过旋转关节自由连接，即该关节无驱动力矩。该机械系统目的是操作小车的驱动力F，使得摆稳定在倒立点上，即连杆不倒下，即不超过预先定义好的一个垂直偏离角度范围。图2.1为倒立摆系统图，小车位移为x，摆的角度为。 在系统数学模型中，首先假设：（1）摆杆为匀质刚体；（2）忽略摆杆与支点间的摩擦；（3）忽略小车与导轨的摩擦。 图2.1 倒立摆系统图 系统的初始状态 ，摆杆质心的绝对位移为 根据牛顿第二运动定律，对系统整体水平方向受力分析，求得方程 (2-1) 对摆杆O点取力矩平衡，得到方程 (2-2) 方程（1）（2）是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加的外力条件下，假定很小，接近于零是合理的。则，。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得到倒立摆系统的数学模型为： (2-3) (2-4) 2.1.2 状态变量及状态空间表达式 在用状态空间法分析系统是，系统的动态特性是用状态变量构成的一阶微分方程组描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可以方便的处理初始条件[1]。 取为系统的一组状态变量，输入为：，输出，则系统的状态方程为： 为便于计算，假设小车的质量M=1kg，摆杆质量m=0.2kg，摆杆长度为l=0.5m，，则系统状态方程为 其中，， 倒立摆系统的原始模拟结构图如图2.2所示。 图2.2 倒立摆系统的原始模拟结构图 2.1.3 系统的约旦标准型 根据系统的特征方程，得到，解得特征值为 ，，。 对应于，由，解得特征