8.514凝聚态物理和原子物理中的多体现象最后修订2003年9月29日.doc

8.514 凝聚态物理和原子物理中的多体现象 最后修订: 2003年9月29日 1 第6课 涡旋、超流。俘获气体。有限温度下的BEC 我们需要一个非假设特殊平面波态凝聚的一般理论来处理空间变化背景的流体动力学和BEC问题。我们可以建立BEC理论，那样凝聚态波函数就是在经典非线性场方程(Gross-Pitaevskii方程)被确定为自恰的任意时空函数。 Gross-Pitaevskii 方程 让我们从短程弱相互作用的玻色气体的哈密顿量出发， , 由海森堡演化关系出发建立凝聚动力学方程 将 替为经典变数，从而给出一个经典场动力学问题 称为Gross-Pitaevskii equations 方程 将模和位相φ= |φ| eiθ分开列方程是有益的 和 通过比较上述表达式的密度和流，可以获得超流速 流是无旋的，▽ x v =0（除了在θ的奇点以外均成立）和 （比较欧拉（Euler）方程） 1.2 超流。漩涡。 考虑超流中的流速通量。它根据流速和位相的关系可得，由（6）式得知，任何环路C上的通量满足 其中，l 为整数。可见， 通量是 h/m 的倍数； 在如环状导管等多通几何体中的流是离散的； 需要通过量子跃迁的方式来改变流。 事实上，由于通量离散，超流只会以离散的方式耗散而不会连续地耗散，这就是超流的由来。只有通过向系统加入离散涡旋并沿涡旋方向将其撤走的方法才能消除超流。 朗道的超流准则：准粒子能量(k)=0(k)= - v · k，由流引起的多谱勒频移应该是正向的， 从而避免产生大量准粒子。该准则定义了临界流速 上述关系中，没有激发的流是不稳定的，从而说明只有当流速低于临界值的时候才能维持稳定的超流。朗道的准则给出了超流产生的必要条件。然而，由于没有考虑涡旋的影响（甚至在υc流速以下都可以在流中产生），我们无法预言临界流速的真实值。实验观则的临界流速是依赖于系统的（非普适的），而且其数值明显比准粒子色散中得到的υc 低几个量级。 现在考虑z轴上存在奇点的涡流下的速度场，流线是平行于(x,y)平面的同心圆。常通量要求速度的变化反比于与距散z轴距离为ρ 其中， 是柱坐标系下的单位方位角向量。 只有靠近漩涡中心的密度变化才是重要的，而一定距离外单个粒子的能量超过相互作用能量， ，并有 1对弱相互作用玻色气体，临界速度等于Bogoliubov声速 所谓的恢复长度ξ 决定低于其体积值并且密度消失的漩涡核心的体积。 定性的图像可以通过分析Gross-Pitaevskii 方程而得到。我们可以找到描述单个漩涡的方程的解。对单位通量l =1的单一量化漩涡，我们期望有φ( ρ→ ∞)=和φ( ρ ? ξ ) α ρeiθ ，从而可以使用下列形式的试验函数 将能量最小化得到r0 = ，结果与上述估算一致。 漩涡的能量可以作为流的动能来估算，其值是正的。因此，除非系统被驱动或搅动，否则不出现漩涡。考虑一个以角速度Ω转动的柱状瓶，并找出漩涡开始出现的临界转速 考虑半径为b，高为L的 柱状瓶，位于其上的对称坐标中的漩涡的流动能是 （根据（12）式，因为ρ ξ，密度可以与一常量近似，而漩涡核中的密度损耗，在ρ≦ ξ时，截断了小ρ情况下的发散。）能量贡献是因为漩涡核，它能用大约 ln 1.464L的实验方程（12）估算，这比动能估算（13）小一点。 The energy of the vortex in a jar rotating with velocity Ω is Eυ (Ω) = Eυ– ΩM, where M is the angular momentum of the vortex, 以速度Ω旋转的柱状瓶的能量为Eυ (Ω) = Eυ– ΩM, 其中，M是漩涡的角动量。 在下列情况下，漩涡成为高能状态 注意，平方反比依赖于半径b处的Ωc(1) ，这说明在更大的柱状瓶中更容易产生漩涡。 如果转速大于Ωc(1)并不断增加，将得到下一个临界值Ωc(3)，这时出现第二个漩涡，如此类推可以得到第三个漩涡等等。 在高速旋转时存在多个漩涡，我们可以通过因漩涡而产生的全通量与均匀转速流通量∮v · dr = Ωπb2相配的要求来估算漩涡数N ，并给出线性依赖关系 当然，由于N 是整数，实际上漩涡数目将逐步离散地增加，同时平均而言符合（16）式的比例关系。 俘获气体 约束气体的玻色凝聚与前面讨论过的均匀系统的BEC有点不同。最重要的是，BEC跃迁是伴有密度分布突变的。这是因为凝聚原子的最低量子能态在俘获中心处达到峰值，而且其空间扩展的大小