数值分析复习提要.docVIP

提纲１、高斯消去法、全选主元消去法、列选主元消去法、LU分解、对称矩阵的分解，对称正定矩阵的分解，三对角阵的追赶法。２、向量空间距离的概念（向量范数、矩阵范数）、谱半径３、解线性方程组的迭代方法：Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代方法，及其收敛性４、求最大（小）特征值的幂法与反幂法 要点１、对于线性方程组如果的所有顺序主子式，则高斯消去法可以完成。其过程如下将方程组的第一行乘加到第，消去中除了第一行之外的第一列元素，得到其中得到一个等价的方程组将方程组的第二行乘加到第，消去中除了第一、二行之外的第二列元素，得到其中依此类推，可以得到一般的表达式如果只满足，那么就得在消去之前调整元素的大小，将绝对值最大的元素做为消去除法中的分母。即要保证，这样得到的方法称为全选主元素方法，为了减小选择主元过程的运算量，只保证，这样得到的方法称为列选主元方法。2、三角分解，设为阶矩阵，如果的顺序主子式，则可唯一分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，且这种分解是唯一的。即其中于是原来的方程组可以写成令，则求解原方程组可分两步完成，首先由求出，这只要再从，求出，这只要３、对称正定矩阵的三解分解（也称Cholesky分解）如果为阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角阵使，当限定的对角元素为正时，这种分解是唯一的。即其中。于是解线性方程组可以能过以下三个步骤完成（１）计算，这只要对，计算（２）令，对求出，这只要（３）对，求出，这只要４、为了避免上面计算时的开方运算，可以将原来的算法改成，这种分解对于所有的对称矩阵都是成立的。显然对于对称正定矩阵也是成立的。其过程可以写为其中方程组求解过程：５、追赶法，如果方程组中的是一个三对角阵，即则它的LU分解为其中原方程的求解过程为：令，注：这样的方程有唯一解，且数值稳定的一个充分条件是是对角占优的。６、向量、矩阵的范数（１）向量的－范数：（２）向量的１－范数：（３）向量的２－范数：（４）矩阵的算子范数：（５）矩阵的－范数：，也称行和范数（６）矩阵的１－范数：，也称列和范数（７）矩阵的２－范数：，为矩阵的最大特征值。７、谱半径：；注意谱半径一些重要结论：（１）谱半径，是的任意范数的下界；（２）若，则（３）设，则的充分必要条件是８、将写成等价的形式，如果则，对，做迭代得到的向量序列在范数意义下有极限，且，即。选择不同的等价表达式可以得到不同的迭代格式。其中最简单的两种是Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代。９、Jacobi迭代将方程组写成从第i个方程解出，即对应的迭代格式为：写成矩阵形式就有为了得到更直观的表达式，将写为于是称为Jacobi迭代矩阵，其收敛的充公必要条件是９、Gauss-Seidel迭代其原理是在Jacobi迭代的基础上改进而来的。其分量形式可以写为写成矩阵形式为：这里的B称为Gauss-Seidel迭代矩阵，其收敛的充分必要条件是。10、验证迭代过程收敛性的两种重要手段：因为，虽然可以验证迭代矩阵的谱半径与１的大小的关系来判断迭代过程的收敛性，但由于谱半径的计算并非一件容易的事情，这里有两个判断迭代收敛性的充分但不必要条件：（１）若迭代矩阵的某种范数小于１，那么迭代是收敛的（注：信息与计算科学专业的学生要求掌握它的证明过程）（２）若线性方程组系数矩阵是对角占优的，那么Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代都是收敛的。（３）若线性方程组系数矩阵是弱对角占优，且不可约的，那么Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代都是收敛的。（选读） 示例１、用Gauss消去法、全选主元方法、列选主元方法求解方程组解：（１）用Gauss消去法求解第一行乘加到第二行，第一行乘加到第三行，可以得到第二行乘6加到第三行，可以得到从第３行求出，从第二行求出，从第一行求出（２）用全选主元方法将方程组写成矩阵方式有在矩阵中找到绝对值最大者，将交换到所在的位置，可得对应用Gauss消去过程，再做一次消去法，得解得请同学们自行演算下面两题（１）用Gauss全选主元方法求下列方程组的解：，参考解：（２）用列选主元法求矩阵的行列式。参考答案：２、用LU分解的方法求下列两个方程组的解与解：由于两个方程组的系数矩阵是一样的。把上面的两个线性方程组写为：其中作的LU分解，有其中所以令可以求得令可以求得注：LU分解的最大的好处在于求解的方程组序列，只要做一次LU分解，然后多次回代计算即可求解。要注意掌握。３、求解线性方程组