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数值分析课程设计报告 设计题1、2、3、5 学院、系： 专 业： 姓 名： 学 号： 任课教师： 提交日期： 电子邮箱： 目录 [设计题一] 3 1.1问题分析与设计思路 3 1.2程序清单 4 1.4 结果分析 7 1.5设计总结 7 [设计题二] 8 2.1问题分析与设计思路 8 2.2程序清单 8 2.3 运行结果 10 2.4结果分析与设计总结 10 [设计题三] 11 3.1问题分析与设计思路 11 3.2程序清单 11 3.3 运行结果 13 3.4结果分析与设计总结 13 [设计题五] 14 4.1问题分析与设计思路 14 4.2程序清单 15 4.3 运行结果 20 4.4结果分析 21 【数值分析课程设计总结】 22 [设计题一] 设计实验验证Hilbert矩阵的病态性。 1.1问题分析与设计思路 在求解任何反问题的过程中通常会遇到病态矩阵问题，而且病态矩阵问题还未有很好的解决方法，尤其是长方形、大型矩阵。目前主要有Tikhonov、奇异值截断、奇异值修正等方法。　 求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵就是病态矩阵。解线性方程组Ax=b时，若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb,方程组(A+δA)χ=b+δb的解χ与原方程组Ax=b的解差别很大，则称矩阵A为病态矩阵。方程组的近似解χ一般都不可能恰好使剩余r=b-Aχ为零，这时χ亦可看作小扰动问题Aχ=b-r(即δA=0，δb=-r)的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。 因此，设计思路如下： 令x0=（1,1…..1），计算出b=Hx0，求出b，然后再用高斯消去法球解Hx=b，得到近似解x，然后利用标准差： 比较x与x0之间的误差。截图是取了几个n（程序中设置为1至30）去计算，看一下随着n的增大误差的变化情况。 1.2程序清单 共两个文件 qm1.m gauss_liezhu1.m （在qm1.m中调用此程序） qm1.m gauss_liezhu1.m 1.4 结果分析 按照N的递增顺序取了9个误差数据，制成散点折线图如上所示。 由此可以看出，此矩阵求解方程组时对数据的小扰动很敏感 实验验证Hilbert矩阵的病态性成立。 1.5设计总结 （1）认识什么事矩阵的病态性 （2）令x0=（1,1…..1），计算出b=Hx0，求出b，然后再用高斯消去法球解Hx=b，得到近似解x，然后利用标准差公式 比较x与x0之间的误差。 （3）取几个点进行误差记录 （4）绘制误差的散点图，形象分析 [设计题二] 1225年，达芬奇研究了方程并得到它的一个近似根。没有人知道他用什么方法得到它。设计两种方法去计算，并比较这两种方法。 2.1问题分析与设计思路 f(x)=0的根(或f(x)的零点)，当f(x)复杂时，很难求，需要找到有效简单的近似方法去求： （1）二分法理论: f(x)∈C[a,b],单调,f(a)f(b)0，f(x)=0在(a,b)中有惟一根。 （2）迭代法 （3）牛顿（Newton）法 针对本题，采用了两种方法。第一种方法是二分法，得到的近似根与精确解的误差小于。第二种方法是用牛顿迭代法。 二分法 优点：条件和方法简单(只要求f(x)连续即可)，方法收敛；缺点：收敛速度慢，不易求偶数重根（如图）. Newton 迭代法迭代公式 2.2程序清单 二分法程序：erfen.m Newton迭代法程序： qm2_2.m nanewtom.m(在qm2_2.m中调用) 2.3 运行结果 二分法： Newton迭代法 2.4结果分析与设计总结 通过二分法与Newton迭代法得出的答案相同。 确定求方程近似根的三种方法 翻书了解编程步骤 总结本章重点知识： 1.熟悉区间二分法； 2.熟悉迭代法