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第八章 级数 数值级数 主要内容 一、基本概念 1、设有数列 (1) 将数列(1)的项依次用加号连接起来,即 （2） 或简写为称为数值级数,简称级数,其中成为级数(2)的第项或通项. 2、部分和：设级数(2)前n项的和是,即 称为级数(2)的项部分和. 3、级数收敛: 若级数(2)的部分和数列收敛,设,则称级数(2)收敛.S是级数(2)的和,表示为.若部分和数列发散，则称级数（2）发散.此时级数（2）没有和. 4、若级数收敛，其和是S，而s-表为即 ， 称为收敛级数的项余和，简称余和.显然，有.其中是公比. 5、同号级数 级数的每一项的符号都是非负或都是非正.若称级数是正项级数;若称级数是负项级数. 二、收敛级数的性质 1、柯西收敛准则 级数收敛 . （1）推论1. 若级数收敛，则. （2）推论2.若去掉、添加或改变级数的有限项,则不改变级数的敛散性. 2、若级数收敛,其和是S,则级数也收敛,其和是,其中是常数(0). 3、若级数收敛,其和是,则不改变级数每项的位置,按原来的顺序将某些项结合在一起,构成的新的级数 (3) 也收敛,其和也是. 4、若级数与都收敛.其和分别是和,则级数 +. 也收敛.其和是. 三、正项级数敛散性的判别法 1、正项级数收敛它的部分和数列有上界. 2、 比较判别法的不等式形式 设 与是两个正项级数，且有，是正常数. 若级数收敛，则级数也收敛. 若级数发散，则级数也发散. 3、比较判别法的极限形式 有两个正项级数与（，且 . 若级数收敛，且，则级数也收敛； 若级数发散，且，则级数也发散. 4、柯西判别法的不等式形式 有正项级数, 1)若有(常数)1,则级数收敛; 2)若存在无限个,有则级数发散. 5、柯西判别法的极限形式: 有正项级数,若则 1) 时,级数收敛; 2) 时级数发散. 6、达朗贝尔判别法的不等式形式 有正项级数(, 1) 若有1,则级数收敛; 2) 若有 则级数发散. 7、达朗贝尔判别法的极限形式 有正项级数，且. 若则级数收敛； 若则级数发散 8、拉贝判别法的不等式形式 正项级数，且存在某自然数及常数 1) 若对一切，,则级数收敛; 2) 若对一切，, 则级数发散. 9、拉贝判别法的极限形式 正项级数，且存在，则 1）若则级数收敛； 2）若则级数发散 3）若拉贝判别法无法判断. 四、一般项级数敛散性判别法 1、莱布尼兹判别法 交错级数,若 1） 2）. 则交错级数收敛，且，其中分别是交错级数的和，项部分和与余和. 2、若级数绝对收敛，则级数必收敛. 3、狄利克雷判别法 若数列单调减少,且级数的部分和数列有界,即 有 则级数收敛. 4、阿贝尔判别法 若数列是单调有界，而级数收敛.则级数收敛. 解题方法 考点1 判断级数的敛散性 解题方法 1、定义法（eg1）2、比较判别法（eg2、3、4）3、达朗贝尔判别法（eg5）4、莱布尼茨判别法（eg6） 2、考点2 条件收敛与绝对收敛（eg7） 函数级数 主要内容 函数级数及其一致收敛性 1、函数级数：设函数列中的每个函数都定义在数集上，将它们用加号连结起来，即 (1) 就是定义在数集上的函数级数.函数级数(1)的前项和 就是函数级数(1)的项部分和. 2、一致收敛：设函数级数在区间收敛于和函数，若 （通用），有 , 则称函数级数在区间一致收敛或一致收敛于和函数. 3、柯西一致收敛准则 函数级数在区间一致收敛 有 二、函数级数一致收敛判别法 1、判别法 函数级数，是区间.若,， 有，且级数收敛，则函数级数在区间 一致收敛. 2、狄利克雷判别法 若函数列在区间I单调减少一致收敛于0,且函数级数部分和函数列在区间I 一致有界，则函数级数在区间I 一致收敛. 3、阿贝耳判别法 若函数列在区间I单调一致有界，且函数级数在区间I一致收敛，则函数级数在区间I 一致收敛. 三、和函数的分析性质 1、连续性 函数级数在区间一致收敛和函数，且在区间连续，则和函数在区间也连续． 2、可积性 若函数级数在一致收敛于和函数，且在连续，则和函数在可积，且简称逐项积分． 3、可微性 若函数级数在区间满足下列条件： 收敛于和函数，即； 有连续导数； 导函数的函数级数一致收敛； 则和函数在区间有连续导数，且简称逐项微分． 四、函数列 1、定义：设函数列的每个函数在区间I有定义.，数列收敛，设它的极限是，即，有 ，则称函数列在区间收敛于，并称是函数列的极限函数． ２、函数列一致收敛 设函数列在区间收敛于极限函数.若存在，，有,称函数