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华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2009学年第1学期　 考试科目：数学分析III 考试类型：（闭卷）考试　　　 考试时间：　120　分钟 学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、填空题：（每小题4分，共20分） 函数在点处的累次极限与重极限是两种不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系。但是在一定的条件之下，这两种极限之间也存在着联系，试写出这样的条件和联系： （1） ； （2） 。 2、设二元函数在凸开域上连续，在的所有内点都可微，则对内任意两点，存在 ，使得 。 3、交换积分次序： 。 4、设函数可导，记，则 。 5、设是单连通闭区域，若函数在内连续，且具有一阶连续的偏导数。试写出沿中曲线的第二型曲线积分与路径无关的两个充要条件： （1） ； （2） 。 二、选择题：（每小题3分，满分15分） 1、若函数在点处可微，则函数在该点处不一定成立的是（ ）。 （A）连续； （B）偏导数存在；（C）偏导数连续；（D）切平面存在。 2、以下命题正确的是（ ）。 （A）函数在点处连续是函数在该点方向导数存在的必要条件； （B）函数在点处偏导存在是函数在该点方向导数存在的必要条件；（C）函数在点处可微是函数在该点方向导数存在的充要条件； （D）函数在点处可微是函数在该点方向导数存在的充分条件。 3、设函数，其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有（ ）。 （A）；（B）；（C）；（D）。 4、设是连续的奇函数，是连续的偶函数， 区域，则正确的为（ ）。 （A）； （B）； （C）； （D）； 5、已知曲线积分与路径无关，且，则有（ ）。 （A）； （B）； （C）； （D）。 三、计算题（满分48分） 1、设 ，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求。(本题7分) 2、设，其中都具有一阶连续偏导数，且，求。(本题7分) 3. 计算 。(本题12分) 4、计算 ,其中为由点沿曲线到点再沿直线到点的路径。(本题8分) 5、计算二重积分其中，其中是曲面 的上侧。(本题8分) 四、（本题满分10分） 设函数 = 是平面上任一单位向量；(1)求在点沿的方向导数,(2)试讨论在处的连续性和可微性。 五、证明题（本题7分） 若函数的偏导数在点的某邻域内存在，且与在点处连续，则函数在点可微。 1