数分卷(B试点班)(解答).docVIP

第 1 页(共 3 页) 第 2 页(共 3 页) 第 3 页(共 3 页) 得分 评阅人 七、证明题（共1题，共5分） 若在无界区域上连续 ,且在上收敛 ,但在 发散 ，则在上不一致收敛. 证明：（反证法）假设在上一致收敛由含参量反常积分一致收敛的柯西准则，知 对任意 ，存在正数M，使得 当时，总有　　 再由含参量正常积分的连续性，上式两边让得 　　　　 由柯西准则 也收敛。这与题设矛盾 故 在上不一致收敛 . ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 得分 评阅人 六、证明题（共1题，共20分） 设为上的单连通区域 , 在上具有二阶连续的偏导数 ,则 在上的调和函数(即)的充要条件是:对于任意一条围线,总有 (其中为围线的外法线方向). 证：必要性： 因 由题设和两类曲线积分的关系及格林公式得 其中是围成的有界闭区域。. 充分性：(反证法) 假设存在点,使得,不妨设 由连续函数的局部保号性得 存在点的闭邻域, 使得在其中 记的边界为C , 由(1)的过程得 , 这与题设矛盾。 证明：（1）由连续函数性及积分的不等式性质，得 ，其中分别为在上的最大值与最小值。 再由积分中值性，存在 使得 ，其中为的体积。 （2）由（1）知 。 得分 评阅人 五、判断题（共2题，共15分） (1)、判断含参量反常积分在上的一致收敛性 . (2)、利用(1)及可微性定理求函数 （其中）的表达式. 解：（1）因为 ，而收敛 由M—判别法 得 在上的一致收敛性。 （2）由（1）及可微性 得 解得 ，又 所以， 。 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 得分 评阅人 三、计算下列曲线积分（共2小题，共15分） 1、 ,其中为球面与平面的交线. 解：由题设知，，且为以a为半径的大圆 所以，原式=， 2、 ,其中为常数 , 为由点到点的上半圆周 . 解：补充有向直线段，由格林公式 原式== == 其中 得分 评阅人 四、证明与计算题（共2小题，共15分） (1)、设在有界闭区域上连续 ，证明：存在，使得 ，其中为的体积。 (2)、利用(1)计算,其中,连续且. 得分 评阅人 二、计算下列重积分 (共3小题 , 共20分) 1、 , 其中是由直线 及抛物线围成的有界区域 .