数列放缩法.docVIP

数列放缩法 1.已知数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）若数列滿足证明：数列是等差数列； （Ⅲ）证明： 函数f（x）=：f（1）+f（2）++f（n）n+. 4. 求证： 5. 已知数列满足：，．求证： 6. 已知数列的前项和满足：， （1）写出数列的前三项，，； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对任意的整数，有 7. 在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列4321的逆序数． （1）求a4、a5，并写出an的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. 8.已知数列{a}满足：a=1且. (1)求数列{a}的通项公式； (2)设mN，mn2，证明（a+）（m-n+1） 9. 设数列{}满足 (1)求{}的通项公式； (2)若求证：数列{}的前n项和 10. 已知正项数列{}满足 (1)判断数列{}的单调性； (2)求证： 11设求证： 答案： 5.证明：因为，所以与同号，又因为，所以， 即，即．所以数列为递增数列，所以， 即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 6.分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：（n1） 化简得： , 故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列. 故 ∴ ∴数列{}的通项公式为：. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：， ，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时， （2）当是奇数时，为偶数， 所以对任意整数，有。 . 1 n 3 2 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Λ Λ