数字特征和极限定理.docVIP

第八章 随机变量的数字特征 随机变量的概率分布是对其概率性质的最完整的刻画；数字特征是刻画随机变量某方面性质的数值。 引例1：三种品牌手表日走时误差（单位：秒），，分别有分布列 ，日平均误差0秒； ，日平均误差 +0.4秒； ，日平均误差0秒。 引例2：若，则 （1） （2） （3） 说明 ①以很大的概率在附近取值，刻画取值的大小。②小，则区间短，取值集中； 大，则区间长，取值分散。 §1. 数学期望 1. 离散型随机变量的数学期望 定义1. 有分布律，则称数值 为的数学期望，记作. 设取个值，其中有个，个，个， 则平均值 取值的平均值稳定在 例1： ①有分布律 ； ②若有分布律 /*级数性质复习：级数有更序级数， ①若收敛，则收敛，且； ②若收敛，但发散，则可能不等于，也可能发散。*/ 定义2 有分布律 若级数收敛，则称级数的和为的数学期望，记作。否则称的数学期望不存在。 数学期望不存在的例： 记 ，（i =1，2，…）， 有分布律：，（），则 不存在 例2： ，则 证： 练习：某种家电寿命（单位：年）有分布密度 ， 采用先使用后付款方式，且规定 时，付1500元；时，付2000元； 时，付2500元；时，付3000元。 求此种家电一台收费的数学期望。 解：的分布律为，则 （1） （2） （3） （4） 2.连续型随机变量的数学期望 定义：有分布密度，若收敛，则 称为（或分布）的数学期望，记作。否则称的数学期望不存在。 例1： 在 [0，1]上均匀分布，有分布密度 存在，且 一般的，若，则 例2： 有分布密度， 收敛和都收敛 其中 = 发散，不存在。 例3： ，则. 证：可以验证收敛，存在。 令，则 . 练习：服从指数分布，有分布密度，则 3．随机变量函数的数学期望 定理：（1）是一元函数， ①有分布律。 若收敛，则存在，且 否则不存在。 ②有分布密度，若收敛，则存在且；否则不存在。 （2）是二元函数， ①有分布律 (， 若收敛，则存在， 且；否则不存在。 ②有分布密度， 若收敛，则存在， 且；否则不存在。 例1：有分布律，求。 解： 或 =(-1)2+02+22+32 例2： 在上均匀分布，求 解：有分布密度 . 例3：在区域均匀分布，由轴、轴及直线围成。求、及。 解：的分布密度为, ； ； ③ 。 4． 数学期望的性质 （1）是常数，则。 证：，则 。 （2）是常数，若存在，则存在，且 证：若有分布律则 （3）是二维随机变量，若存在，则存在，且 证：有分布律 ( 则 ， 所以= = 推论：是维随机变量，若存在，则存在，且 又若是实数，则 练习：，，，求 （4）是二维随机变量，若独立，存在，则存在，且 证：若有分布律 ( 独立， （） = = 推论：若独立，存在，则存在，且 练习：①独立，，求 ②，求 （5）马尔科夫不等式：若且存在，则对任何实数，有 证：设有分布密度，则由有时，，∴时，. = （6），若 则 例1： ，则 证：方法一： 方法二：次独立试验，每次试验成功的概率是，表示成功的次数，则 ， 即 . 记 则有分布律 且， ∴ 练习：一民航客车载有20位旅客，到达一站若无旅客下车则不停车，共有10站，而停车次数为，求。（假定旅客在各站下车等可能，且各旅客是否下车相互独立）。 §2.方差 1．定义：是随机变量，若的数学期望存在，则称为的方差，记做（或或） = == 例1：，则 证：， ， 例2：，则 证： 令，则 = （上式“=”用到 ） N(0,1/4)， N(0,1) 和N(0,2)的密度曲线： 常用公式： 例如：，则 例3：，则 证：， = = ∴ 练习：服从指数分布，有分布密度，则 证：； = 所以， 2．方差的性质 （1）是任意常数，则 证：. /*反之，若，即，则 ，即*/ （2）是任意常数，则k2 证： =. （3）是任意常数，则 证： （4） 特别，独立时， 证： 其中的 （独立时）=0， 若独立，则独立， 若两两独立，则 练习：，，两两独立， 求 重要结论：若独立，， ，，是不全为零的常数， 则 其中 ， 例5：，则. 证：方法一（利用定义）： 方法二：次独立试验，每次试验成功的概率是，表示成功的次数，则 ， 即 . 记 则有分布律 。 ，， ， 且，其中独立 ∴ ∴ 常见分布的数学期望和方差： 分 布 数学期望 方差 二项分布 几何分布 泊松分布 正态分布 均匀分