数学分析教案(华东师大版)函数列与函数项级数.docVIP

第十三章 函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。 教学时数：20学时 § 1 一致收敛性 一．?????? 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列 ，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.? 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. ? 例1 对定义在 内的等比函数列 , 用“ ”定义验证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. ? 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .? ⑴ . . ⑵ . . ⑶ 设 为区间 上的全体有理数所成数列. 令 ? , . ⑷ . , . ⑸ 有 , , . （ 注意 .） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上 , . 试问: 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. ? 定义 ( 一致收敛 ) ? 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式 .) 证 ( 利用式 ) 易见逐点收敛. 设 ,……,有 . 令 , 对 D成立, 即 , ， D. 推论1 在D上 , ， . 推论2 设在数集D上 , . 若存在数列 D , 使 , 则函数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 在数集D上非一致收敛时, 常选 为函数 ― 在数集D上的最值点. ? 验证函数一致收敛性: 例4 . 证明函数列 在R内一致收敛. 例5 . 证明在R内 , 但不一致收敛. 证 显然有 , 在点 处取得极大值 , . 由系2 , 不一致收敛. 例6 . 证明在 内 , . 证 易见 而 在 内成立. 由系1 , …… 例7 对定义在区间 上的函数列 证明: , 但在 上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4. 证 时, 只要 , 就有 . 因此, 在 上有 . , .于是, 在 上有 . 但由于 , , 因此 , 该函数列在 上不一致收敛. 例8 . 考查函数列 在下列区间上的一致收敛性: ⑴ ; ⑵ . ? 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1． 函数项级数及其和函数：， , 前 项部分和函数列 ，收敛点，收敛域, 和函数, 余项. ? 例9 定义在 内的函数项级数( 称为几何级数 ) 的部分和函数列为 , 收敛域为 . ? 2.?????? 一致收敛性: 定义一致收敛性. ? Th2 ( Cauchy准则 ) 级数 在区间D上一致收敛, , 对 D成立. 推论 级数 在区间D上一致收敛, , . Th3 级数 在区间D上一致收敛, . 例10 证明级数 在R内一致收敛 . 证 令 = , 则 时 对 R成立. …… 例11 几何级数 在区间 上一致收敛；但在 内非一致收敛. ? 证 在区间 上 , 有 , . 一致收敛 ; 而在区间 内 , 取 , 有 , . 非一致收敛. ( 亦可由通项 在区间 内非一致收敛于零, 非一致